Дано графік функції y=x2+2x+1 (парабола, гілки вгору, дотична до осі x у точці x=−1). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей: а) x2+2x+1<0; б) x2+2x+1≤0; в) x2+2x+1>0; г) x2+2x+1≥0.
Розв’язання
Функція y=x2+2x+1 має єдиний корень x=−1, і графік лежить вище осі x.
а) Нерівність <0 не має розв'язків, оскільки функція ніколи не від'ємна: ∅.
б) Нерівність ≤0 виконується лише в точці дотику графіка до осі: {−1}.
в) Нерівність >0 виконується для всіх значень, крім точки дотику: (−∞;−1)∪(−1;+∞).
г) Нерівність ≥0 виконується для всіх дійсних чисел: R.
Відповідь:
а) ∅ (не має розв'язків); б) {−1}; в) (−∞;−1)∪(−1;+∞); г) R.
Дано графік функції y=x2+2x+1 (парабола, гілки вгору, дотична до осі x у точці x=−1). Потрібно знайти множину розв'язків для чотирьох нерівностей: а) x2+2x+1<0; б) x2+2x+1≤0; в) x2+2x+1>0; г) x2+2x+1≥0.
Що треба знати
Функція має вигляд y=(x+1)2. Графік — парабола, яка дотикається до осі абсцис у вершині x=−1 і розташована повністю вище або на самій осі. Значення функції завжди невід'ємні (y≥0).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Подивись на малюнок 12.13. Графік дотикається до осі x в одній точці. Це означає, що рівняння має один корень (подвійний). Оскільки гілки вгору, функція ніколи не стає від'ємною.
Розв’язання крок за кроком
Функція y=x2+2x+1 має єдиний корень x=−1, і графік лежить вище осі x.
а) Нерівність <0 не має розв'язків, оскільки функція ніколи не від'ємна: ∅.
б) Нерівність ≤0 виконується лише в точці дотику графіка до осі: {−1}.
в) Нерівність >0 виконується для всіх значень, крім точки дотику: (−∞;−1)∪(−1;+∞).
г) Нерівність ≥0 виконується для всіх дійсних чисел: R.
Відповідь:
а) ∅ (не має розв'язків); б) {−1}; в) (−∞;−1)∪(−1;+∞); г) R.
