Завдання 598, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 598

Нерівність, що виконується завжди

Яка з нерівностей виконується при всіх дійсних значеннях $x$ ?
А $x^{2} - 5 < 0$
Б $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$
В $x^{2} + x + 7 > 0$
Г $x^{2} - 2 x + 15 < 0$

Розв’язання

Розглянемо варіант А: $D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 45 > 0$ , корені є, нерівність не виконується завжди.
Варіант Б: $(x + 1)^{2} \leq 0$ . Квадрат числа від'ємним бути не може, дорівнює нулю лише при $x = - 1$ . Не виконується для всіх $x$ .
Варіант Г: $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = - 56 < 0$ , але знак нерівності $< 0$ суперечить тому, що функція завжди додатна.
Варіант В: $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = - 27 < 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний). Отже, $y > 0$ завжди.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 598 с. 125

Нерівність, що виконується завжди

Умова

Що треба знати

Квадратна функція $y = a x^{2} + b x + c$ приймає лише додатні значення для всіх $x$ , якщо дискримінант $D < 0$ і коефіцієнт $a > 0$ . У такому випадку графік (парабола) повністю лежить вище осі $O x$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчисли дискримінант для кожної функції та перевіри знак коефіцієнта при $x^{2}$ . Шукай випадок, коли парабола «висить» над віссю.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо варіант А: $D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 45 > 0$ , корені є, нерівність не виконується завжди.
Варіант Б: $(x + 1)^{2} \leq 0$ . Квадрат числа від'ємним бути не може, дорівнює нулю лише при $x = - 1$ . Не виконується для всіх $x$ .
Варіант Г: $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = - 56 < 0$ , але знак нерівності $< 0$ суперечить тому, що функція завжди додатна.
Варіант В: $D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = - 27 < 0$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ (додатний). Отже, $y > 0$ завжди.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?