Приклади квадратних нерівностей з різними множинами розв'язків
Навести приклади квадратних нерівностей, які: а) не мають жодного розв'язку; б) мають тільки один розв'язок; в) задовольняють усі дійсні числа.
Розв’язання
Для пункту а) візьмемо квадратне тричлен з D<0, наприклад x2+1. Оскільки він завжди додатний, нерівність x2+1<0 не має розв'язків.
Для пункту б) візьмемо випадок, коли парабола дотикається до осі x в одній точці (тобто D=0). Наприклад, (x−1)2≤0. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, єдиний розв'язок — це точка дотику x=1.
Для пункту в) візьмемо випадок, коли парабола з гілками вниз повністю знаходиться нижче осі x (тобто D<0 і коефіцієнт при x2 від'ємний). Наприклад, −x2−1>0. Це рівносильно x2+1<0, що неможливо. Тому краще взяти випадок з двома коренями та гілками вниз: −(x−1)(x+1)≥0 або просто −x2+4≥0. Простіший приклад для всіх дійсних чисел — це нерівність типу −x2−1<0, яка виконується завжди, оскільки ліва частина від'ємна.
Приклади квадратних нерівностей з різними множинами розв'язків
Умова
Навести приклади квадратних нерівностей, які: а) не мають жодного розв'язку; б) мають тільки один розв'язок; в) задовольняють усі дійсні числа.
Що треба знати
Множина розв'язків квадратної нерівності залежить від знаку дискримінанта відповідного рівняння та напрямку гілок параболи (вгору або вниз). Якщо D<0, коренів немає; якщо D=0, є один корінь; якщо D>0, коренів два.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спробуй скласти рівняння, яке не має коренів (D<0), і приклади нерівностей для обох випадків напрямку гілок (вгору та вниз).
Розв’язання крок за кроком
Для пункту а) візьмемо квадратне тричлен з D<0, наприклад x2+1. Оскільки він завжди додатний, нерівність x2+1<0 не має розв'язків.
Для пункту б) візьмемо випадок, коли парабола дотикається до осі x в одній точці (тобто D=0). Наприклад, (x−1)2≤0. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, єдиний розв'язок — це точка дотику x=1.
Для пункту в) візьмемо випадок, коли парабола з гілками вниз повністю знаходиться нижче осі x (тобто D<0 і коефіцієнт при x2 від'ємний). Наприклад, −x2−1>0. Це рівносильно x2+1<0, що неможливо. Тому краще взяти випадок з двома коренями та гілками вниз: −(x−1)(x+1)≥0 або просто −x2+4≥0. Простіший приклад для всіх дійсних чисел — це нерівність типу −x2−1<0, яка виконується завжди, оскільки ліва частина від'ємна.
