Завдання 587, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 587

Знаходження параметра за умовою рівності екстремумів

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 2 x + 5 a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 2 x + 5 a$ : вершина $x_{v 1} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Найменше значення: $y_{min} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 a = 1 - 2 + 5 a = 5 a - 1$ .
Для функції $y_{2} = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ : вершина $x_{v 2} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 3 )} = 1$ . Найбільше значення: $y_{ma x} = - 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + a^{2} = - 3 + 6 + a^{2} = a^{2} + 3$ .
Прирівнюємо значення: $5 a - 1 = a^{2} + 3$ . Переносимо все в один бік: $a^{2} - 5 a + 4 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 25 - 16 = 9$ , $D = 3$ . Корені: $a_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $a_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ .

Відповідь:

$a = 1$ або $a = 4$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 587 с. 120

Знаходження параметра за умовою рівності екстремумів

Умова

Що треба знати

Аналогічно попередньому завданню. Для першої функції ( $a > 0$ ) знайдемо мінімум, для другої ( $- 3 < 0$ ) — максимум. Прирівняємо значення в вершинах і розв'яжемо отримане рівняння відносно $a$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчисліть координату вершини для обох функцій, знайдіть значення функції в цих точках і складіть рівність. Не забудьте перевірити, чи виконується умова розкривання парабол у потрібний бік (для першої $a > 0$ , для другої це завжди так).

Розв’язання крок за кроком

Для функції $y_{1} = x^{2} - 2 x + 5 a$ : вершина $x_{v 1} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Найменше значення: $y_{min} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 a = 1 - 2 + 5 a = 5 a - 1$ .
Для функції $y_{2} = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ : вершина $x_{v 2} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 3 )} = 1$ . Найбільше значення: $y_{ma x} = - 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + a^{2} = - 3 + 6 + a^{2} = a^{2} + 3$ .
Прирівнюємо значення: $5 a - 1 = a^{2} + 3$ . Переносимо все в один бік: $a^{2} - 5 a + 4 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 25 - 16 = 9$ , $D = 3$ . Корені: $a_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $a_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ .

Відповідь:

$a = 1$ або $a = 4$ .

Розбір зрозумілий?