ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 120

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 585–592 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 585

Знаходження параметра за проміжком зростання

За якого значення $a$ проміжок $(- \infty; 3]$ є проміжком зростання функції: а) $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ ; б) $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ ?

Розв’язання

Розглянемо підпункт а). Функція має вигляд $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний ( $- 2 < 0$ ), парабола розкривається вниз, тому проміжок зростання — це $(- \infty; x_{v}]$ , де $x_{v} = - \frac{a}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{a}{4}$ .
За умовою проміжок зростання дорівнює $(- \infty; 3]$ , отже, координата вершини має дорівнювати 3: $\frac{a}{4} = 3$ . Звідси $a = 12$ .
Розглянемо підпункт б). Функція $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ . Щоб функція мала проміжок зростання, гілки параболі мають йти вниз, тобто $a < 0$ . Координата вершини: $x_{v} = - \frac{- ( a ^{2} - 7 )}{2 a} = \frac{a ^{2} - 7}{2 a}$ .
Прирівнюємо координату вершини до 3: $\frac{a ^{2} - 7}{2 a} = 3$ . Помножимо на $2 a$ (враховуючи, що $a < 0$ , знак не змінюється): $a^{2} - 7 = 6 a \Rightarrow a^{2} - 6 a - 7 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 36 - 4 \cdot (- 7) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $a_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ , $a_{2} = \frac{6 - 8}{2} = - 1$ .

Відповідь:

а) $a = 12$ ; б) $a = - 1$ .

Завдання 586

Рівність мінімуму та максимуму функцій з параметром

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 6 x + a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 6 x + a$ : коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому мінімум у вершині. $x_{v 1} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + a = 9 - 18 + a = a - 9$ .
Для функції $y_{2} = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ : коефіцієнт $- 2 < 0$ , тому максимум у вершині. $x_{v 2} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{ma x} = - 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 5 a = - 18 + 36 + 5 a = 18 + 5 a$ .
За умовою мінімум першої функції дорівнює максимуму другої: $a - 9 = 18 + 5 a$ .
Розв'язуємо рівняння: $a - 5 a = 18 + 9 \Rightarrow - 4 a = 27 \Rightarrow a = - \frac{27}{4} = - 6, 75$ .

Відповідь:

$a = - 6, 75$ .

Завдання 587

Знаходження параметра за умовою рівності екстремумів

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 2 x + 5 a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 2 x + 5 a$ : вершина $x_{v 1} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Найменше значення: $y_{min} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 a = 1 - 2 + 5 a = 5 a - 1$ .
Для функції $y_{2} = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ : вершина $x_{v 2} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 3 )} = 1$ . Найбільше значення: $y_{ma x} = - 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + a^{2} = - 3 + 6 + a^{2} = a^{2} + 3$ .
Прирівнюємо значення: $5 a - 1 = a^{2} + 3$ . Переносимо все в один бік: $a^{2} - 5 a + 4 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 25 - 16 = 9$ , $D = 3$ . Корені: $a_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $a_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ .

Відповідь:

$a = 1$ або $a = 4$ .

Завдання 588

Побудова графіків функцій з модулем

а) $y = x^{2} - 4∣ x ∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} - 6 x ∣ + 5$ .

Розв’язання

а) Розглянемо випадок $x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x$ . Це парабола, що проходить через $(0; 0)$ і $(4; 0)$ , вершина в точці $(2; - 4)$ .
Для випадку $x < 0$ : $y = x^{2} + 4 x$ . Це парабола, що проходить через $(0; 0)$ і $(- 4; 0)$ , вершина в точці $(- 2; - 4)$ . Графік складається з двох гілок парабол, що сходяться в початку координат.
б) Розглянемо вираз під модулем $x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ . Корені цього тричлена: $0$ і $6$ . Точки перетину з віссю $O x$ : $(0; 0)$ і $(6; 0)$ .
Побудуємо графік $y_{1} = x^{2} - 6 x$ (гілки вгору). Для функції з модулем відображаємо частини графіка, що знаходяться нижче осі $O x$ , симетрично до цієї осі.
Додамо $+ 5$ до всіх значень ординат. Отримаємо графік, що складається з двох гілок парабол, що йдуть вгору, і «загнутої» частини внизу між точками перетину з віссю $O x$ .

Відповідь:

а) Графік має вигляд «підкови», симетричний відносно осі $O y$ , вершини в точках $(2; - 4)$ і $(- 2; - 4)$ , проходить через початок координат. б) Графік складається з двох гілок парабол, що йдуть вгору, та частини параболи внизу між точками перетину з віссю $O x$ (поблизу $x = 3$ ), зміщеним на 5 одиниць вгору.

Завдання 589

Геометричне розв'язання квадратного рівняння

Знайти додатний корінь рівняння $x^{2} + 6 x = 91$ геометричною побудовою.

Розв’язання

Перетворимо рівняння на $(x + 3)^{2} = 91 + 9 = 100$ . Це означає, що сторона повного квадрата дорівнює $100 = 10$ .
Побудуємо квадрат зі стороною $10$ . Відкладемо від початку координати відрізок $3$ одиниць вздовж осі $O x$ .
Оскільки повна сторона квадрата дорівнює $x + 3$ , то шуканий додатний корінь $x = 10 - 3 = 7$ .

Відповідь:

Додатний корінь рівняння $x^{2} + 6 x = 91$ дорівнює $7$ .

Завдання 591

Розв'язання лінійних нерівностей

а) $2 (x + 7) + 3 (1 - 2 x) \geq 1$ ;
б) $3 (3 x - 2) - 4 (x + 1) < 2 x$ ;
в) $2 (x + 1) \geq 3 - (1 - 2 x)$ ;
г) $3 x - 0, 5 (1 - 3 x) \leq 2, 5 (x - 3)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $2 x + 14 + 3 - 6 x \geq 1$ . Зводимо подібні доданки: $- 4 x + 17 \geq 1$ . Переносимо вільний член: $- 4 x \geq - 16$ . Ділимо на $- 4$ (знак нерівності змінюємо на протилежний): $x \leq 4$ .
б) Розкриваємо дужки: $9 x - 6 - 4 x - 4 < 2 x$ . Зводимо подібні: $5 x - 10 < 2 x$ . Переносимо $2 x$ вліво, а $- 10$ вправо: $3 x < 10$ . Ділимо на 3: $x < \frac{10}{3}$ .
в) Розкриваємо дужки: $2 x + 2 \geq 3 - 1 + 2 x$ . Спрощуємо праву частину: $2 x + 2 \geq 2 + 2 x$ . Віднімаємо $2 x$ і $2$ від обох частин: $0 \geq 0$ . Це тотожність, яка виконується для будь-якого значення $x$ .
г) Розкриваємо дужки: $3 x - 0, 5 + 1, 5 x \leq 2, 5 x - 7, 5$ . Зводимо подібні доданки при $x$ : $4, 5 x - 0, 5 \leq 2, 5 x - 7, 5$ . Переносимо $2, 5 x$ вліво, а $- 0, 5$ вправо: $2 x \leq - 7$ . Ділимо на 2: $x \leq - 3, 5$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 4]$ ;
б) $x \in (- \infty; \frac{10}{3})$ ;
в) $x \in (- \infty; + \infty)$ (будь-яке дійсне число);
г) $x \in (- \infty; - 3, 5]$ .

Завдання 592

Кількість коренів рівнянь з модулем

а) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = 5$ ;
б) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 5$ ;
в) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 4$ ;
г) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 1$ .

Розв’язання

а) Розглянемо випадки для $∣ x + 2∣$ . Якщо $x + 2 \geq 0$ , то $(x + 1) (x + 2) = 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 2 - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 4 \cdot (- 3) = 21 > 0$ , корені існують. Якщо $x + 2 < 0$ , то $(x + 1) (- (x + 2)) = 5 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 7 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 28 < 0$ , коренів немає. Отже, всього 2 корені.
б) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 5$ . Оскільки модуль $∣ x + 2∣ \geq 0$ , то добуток буде від'ємним лише якщо $x + 1 < 0$ . Розв'яжемо для випадку $x + 2 \geq 0$ : $(x + 1) (x + 2) = - 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 7 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 28 < 0$ , коренів немає. Для випадку $x + 2 < 0$ : $(x + 1) (- (x + 2)) = - 5 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 = - 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 21 > 0$ , корені існують. Але потрібно перевірити умову $x + 2 < 0$ для знайдених коренів цього рівняння. Корені $x = \frac{- 3 \pm 21}{2}$ . $21 \approx 4, 58$ . Перший корінь $\approx - 3, 79$ , другий $\approx 0, 79$ . Умова $x < - 2$ виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
в) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 4$ . Аналогічно до пункту б). Розв'язуємо $(x + 1) (- (x + 2)) = - 4 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 = - 4 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 2 = 0$ . $D = 9 + 8 = 17 > 0$ , корені існують. Перевірка умови $x < - 2$ : корені $\frac{- 3 \pm 17}{2}$ . $17 \approx 4, 12$ . Корені: $\approx - 3, 56$ та $\approx 0, 56$ . Тільки менший корінь задовольняє умову $x < - 2$ . Отже, 1 корінь.
г) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 1$ . Аналогічно до пунктів б) і в). Розв'язуємо $- x^{2} - 3 x - 2 = - 1 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 1 = 0$ . $D = 9 - 4 = 5 > 0$ , корені існують. Корені $\frac{- 3 \pm 5}{2}$ . $5 \approx 2, 23$ . Корені: $\approx - 2, 61$ та $\approx - 0, 38$ . Умова $x < - 2$ виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.

Відповідь:

а) 2 корені;
б) 1 корінь;
в) 1 корінь;
г) 1 корінь.