ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 119

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 568–584 · 17 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 568

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = 6 - x^{2}$ ;
б) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ;
в) $y = - 2 x^{2} - 8 x - 5$ .

Розв’язання

Функція а) $y = - x^{2} + 6$ . Тут $a = - 1, b = 0, c = 6$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 6$ . Графік — парабола з вершиною $(0; 6)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 6]$ .
Функція б) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2 ( - 1 )} = 1$ , $y_{0} = - (1)^{2} + 2 (1) + 3 = 4$ . Графік — парабола з вершиною $(1; 4)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 4]$ .
Функція в) $y = - 2 x^{2} - 8 x - 5$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{- 8}{2 ( - 2 )} = - 2$ , $y_{0} = - 2 (- 2)^{2} - 8 (- 2) - 5 = - 8 + 16 - 5 = 3$ . Графік — парабола з вершиною $(- 2; 3)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 3]$ .

Відповідь:

а) Вершина $(0; 6)$ , область значень $(- \infty; 6]$ ;
б) Вершина $(1; 4)$ , область значень $(- \infty; 4]$ ;
в) Вершина $(- 2; 3)$ , область значень $(- \infty; 3]$ .

Завдання 569

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 3$ ;
б) $y = x^{2} - 8 x + 13$ ;
в) $y = 0, 5 x^{2} + 2 x - 1$ .

Розв’язання

Функція а) $y = x^{2} - 3$ . Тут $a = 1, b = 0, c = - 3$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(0; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .
Функція б) $y = x^{2} - 8 x + 13$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{- 8}{2 ( 1 )} = 4$ , $y_{0} = 4^{2} - 8 (4) + 13 = 16 - 32 + 13 = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(4; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .
Функція в) $y = 0, 5 x^{2} + 2 x - 1$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2 ( 0 , 5 )} = - 2$ , $y_{0} = 0, 5 (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 1 = 2 - 4 - 1 = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(- 2; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Вершина $(0; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ ;
б) Вершина $(4; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ ;
в) Вершина $(- 2; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ .

Завдання 570

Проміжки зростання та спадання функцій

а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ ;
б) $y = 1 - 5 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ .

Розв’язання

Функція а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ . Тут $a = 1 > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ . Область значень: $y_{min} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 35 = 1 - 2 - 35 = - 36$ . Проміжки: спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ . Область значень $[- 36; + \infty)$ .
Функція б) $y = - x^{2} - 5 x + 1$ . Тут $a = - 1 < 0$ , тому функція зростає до вершини і спадає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 5}{- 2} = - 2, 5$ . Область значень: $y_{ma x} = - (- 2, 5)^{2} - 5 (- 2, 5) + 1 = - 6, 25 + 12, 5 + 1 = 7, 25$ . Проміжки: зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ . Область значень $(- \infty; 7, 25]$ .
Функція в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ . Тут $a = \frac{1}{3} > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 4}{2/3} = 6$ . Область значень: $y_{min} = \frac{1}{3} (6)^{2} - 4 (6) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3$ . Проміжки: спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ . Область значень $[3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ , область значень $[- 36; + \infty)$ ;
б) Зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ , область значень $(- \infty; 7, 25]$ ;
в) Спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ , область значень $[3; + \infty)$ .

Завдання 571

Аналіз квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 4 x + 17$ ;
б) $y = 7 + 3 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 13$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a = 1, b = - 4$ . Вершина $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 17 = 4 - 8 + 17 = 13$ . Оскільки $a = 1 > 0$ , функція має мінімум. Область значень: $[13; + \infty)$ .
Для пункту б): $a = - 1, b = 3$ . Вершина $x_{v} = - \frac{3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1, 5$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = 7 + 3 \cdot 1, 5 - (1, 5)^{2} = 7 + 4, 5 - 2, 25 = 9, 25$ . Оскільки $a = - 1 < 0$ , функція має максимум. Область значень: $(- \infty; 9, 25]$ .
Для пункту в): $a = \frac{1}{2}, b = - 5$ . Вершина $x_{v} = - \frac{- 5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = \frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 13 = 12, 5 - 25 + 13 = 0, 5$ . Оскільки $a = \frac{1}{2} > 0$ , функція має мінімум. Область значень: $[0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Мінімальне значення 13, область значень $[13; + \infty)$ ;
б) Максимальне значення 9,25, область значень $(- \infty; 9, 25]$ ;
в) Мінімальне значення 0,5, область значень $[0, 5; + \infty)$ .

Завдання 572

Знаходження найбільшого значення функції

Знайти найбільше значення функції $y = - x^{2} + 3 x - 4$ . Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запиши число 100.

Розв’язання

Знайдемо координату вершини по осі абсцис: $x_{v} = - \frac{3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1, 5$ .
Обчислимо найбільше значення функції, підставивши $x = 1, 5$ у рівняння: $y_{ma x} = - (1, 5)^{2} + 3 \cdot 1, 5 - 4 = - 2, 25 + 4, 5 - 4 = - 1, 75$ .

Відповідь:

Найбільше значення функції дорівнює $- 1, 75$ .

Завдання 573

Точки перетину графіків парабол

Знайти координати точок перетину графіків функцій:
а) $y = x^{2}$ і $y = (x - 4)^{2}$ ;
б) $y = 2 x^{2}$ і $y = - x^{2} + 3$ .

Розв’язання

Для пункту а): Прирівнюємо функції: $x^{2} = (x - 4)^{2} \Rightarrow x^{2} = x^{2} - 8 x + 16 \Rightarrow 8 x = 16 \Rightarrow x = 2$ . Знаходимо $y$ : $y = 2^{2} = 4$ . Точка перетину: $(2; 4)$ .
Для пункту б): Прирівнюємо функції: $2 x^{2} = - x^{2} + 3 \Rightarrow 3 x^{2} = 3 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = - 1$ . Знаходимо $y$ для кожного $x$ :
При $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1^{2} = 2$ . Точка $(1; 2)$ .
При $x = - 1$ : $y = 2 \cdot (- 1)^{2} = 2$ . Точка $(- 1; 2)$ .

Відповідь:

а) $(2; 4)$ ;
б) $(1; 2)$ і $(- 1; 2)$ .

Завдання 574

Точки перетину парабол

Знайти координати точок перетину графіків функцій: а) $y = x^{2} - 3$ і $y = (x + 3)^{2}$ ; б) $y = 3 x^{2}$ і $y = - 2 x^{2} + 5$ .

Розв’язання

Для пункту а): Прирівнюємо $x^{2} - 3 = (x + 3)^{2}$ . Розкриваємо дужки: $x^{2} - 3 = x^{2} + 6 x + 9$ . Скорочуємо $x^{2}$ і переводимо доданки: $- 6 x = 12$ , звідки $x = - 2$ . Знаходимо $y$ : $y = (- 2)^{2} - 3 = 4 - 3 = 1$ . Перетин у точці $(- 2; 1)$ .
Для пункту б): Прирівнюємо $3 x^{2} = - 2 x^{2} + 5$ . Переносимо змінні: $5 x^{2} = 5$ , звідки $x^{2} = 1$ і $x = \pm 1$ . Знаходимо $y$ : якщо $x = 1$ , то $y = 3 (1)^{2} = 3$ ; якщо $x = - 1$ , то $y = 3 (- 1)^{2} = 3$ . Перетин у точках $(1; 3)$ і $(- 1; 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 1)$ ; б) $(1; 3), (- 1; 3)$ .

Завдання 575

Відстань між вершинами парабол

Знайти відстань між вершинами парабол, що є графіками функцій: а) $y = (x - 3)^{2}$ і $y = (x - 3)^{2} + 7$ ; б) $y = x^{2} - 2 x + 5$ і $y = - x^{2} + 2 x - 4$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перша парабола $y = (x - 3)^{2}$ має вершину $A (3; 0)$ . Друга парабола $y = (x - 3)^{2} + 7$ має вершину $B (3; 7)$ . Оскільки абсциси однакові, відстань дорівнює різниці ординат: $∣7 - 0∣ = 7$ .
Для пункту б): Перша парабола $y = x^{2} - 2 x + 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{2}{2} = 1$ , ординатою $y_{v} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 = 4$ . Точка $A (1; 4)$ . Друга парабола $y = - x^{2} + 2 x - 4$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- 2}{- 2} = 1$ , ординатою $y_{v} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 4 = - 3$ . Точка $B (1; - 3)$ . Відстань між точками $(1; 4)$ і $(1; - 3)$ дорівнює $∣4 - (- 3) ∣ = 7$ .

Відповідь:

а) 7 одиниць; б) 7 одиниць.

Завдання 576

Відстань між вершинами парабол

Знайти відстань між вершинами парабол, що є графіками функцій: а) $y = x^{2}$ і $y = (x + 5)^{2}$ ; б) $y = x^{2} + 4 x + 5$ і $y = - x^{2} - 4 x - 5$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перша парабола $y = x^{2}$ має вершину $A (0; 0)$ . Друга парабола $y = (x + 5)^{2}$ має вершину $B (- 5; 0)$ . Відстань між точками $(0; 0)$ і $(- 5; 0)$ дорівнює $∣ - 5 - 0∣ = 5$ .
Для пункту б): Перша парабола $y = x^{2} + 4 x + 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- 4}{2} = - 2$ , ординатою $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) + 5 = 1$ . Точка $A (- 2; 1)$ . Друга парабола $y = - x^{2} - 4 x - 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 1 )} = - 2$ , ординатою $y_{v} = - (- 2)^{2} - 4 (- 2) - 5 = - 1$ . Точка $B (- 2; - 1)$ . Відстань між точками $(- 2; 1)$ і $(- 2; - 1)$ дорівнює $∣1 - (- 1) ∣ = 2$ .

Відповідь:

а) 5 одиниць; б) 2 одиниці.

Завдання 577

Відстані від вершини параболи до осей та початку координат

Дано функцію $y = x^{2} - 6 x + 13$ . Потрібно знайти відстані від її вершини до осей $x$ , $y$ і до початку координат.

Розв’язання

Знайдемо абсцису вершини ( $x_{0}$ ): $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Знайдемо ординату вершини ( $y_{0}$ ), підставивши $x = 3$ у рівняння: $y = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$ . Вершина має координати $(3; 4)$ .
Відстань до осі $x$ : $d_{x} = ∣4∣ = 4$ .
Відстань до осі $y$ : $d_{y} = ∣3∣ = 3$ .
Відстань до початку координат: $d_{O} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Відповідь:

До осі $x$ — 4, до осі $y$ — 3, до початку координат — 5.

Завдання 578

Побудова графіка функції з модулем

а) $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} + 4 x ∣ - 2$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкладемо тричлен на множники: $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ . Графік перетинає вісь $x$ у точках $(1; 0)$ і $(3; 0)$ . Вершина параболи без модуля знаходиться в середині між коренями: $x_{v} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ , $y_{v} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ . Оскільки вершина нижче осі $x$ , ми відображаємо дугу між точками $(1; 0)$ і $(3; 0)$ симетрично до осі $x$ .
Для пункту б): Знайдемо точки перетину з віссю $x$ для функції без модуля: $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ . Корені: $0$ і $- 4$ . Вершина: $x_{v} = - 2$ , $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) = - 4$ . Відображаємо нижню частину графіка (між коренями).

Відповідь:

а) Графік має форму «двох гілок» параболи, що сходяться до осі $x$ у точках $(1; 0)$ та $(3; 0)$ , з вершиною вгору в точці $(2; 1)$ . б) Графік має подібну форму між точками $(0; - 2)$ та $(- 4; - 2)$ (відображену частину), а також продовжується як звичайна парабола за межами цих точок.

Завдання 579

Побудова графіка функції з модулем

а) $y = ∣ x^{2} + 2 x - 3∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} - 6 x ∣ - 4$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкладемо на множники: $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ . Корені: $- 3$ і $1$ . Вершина між коренями знаходиться в точці $x = - 1$ , значення $y = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 3 = - 4$ . Відображаємо дугу між $- 3$ та $1$ симетрично до осі $x$ .
Для пункту б): Розкладемо: $x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ . Корені: $0$ і $6$ . Вершина між коренями: $x = 3$ , значення $y = 3^{2} - 6 \cdot 3 = - 9$ . Функція всередині модуля від'ємна на проміжку $(0; 6)$ . Відображаємо цю частину. Зовні цього проміжку графік є звичайною параболою, зміщеною вниз на 4 одиниці.

Відповідь:

а) Графік складається з двох гілок параболи $y = (x + 3) (x - 1)$ для $x \leq - 3$ та $x \geq 1$ , і дуги параболи, відображеної до осі $x$ , на проміжку $[- 3; 1]$ . б) Графік складається з двох гілок параболи $y = x (x - 6) - 4$ для $x \leq 0$ та $x \geq 6$ , і дуги параболи, відображеної до осі $x$ , на проміжку $(0; 6)$ .

Завдання 580

Знаходження параметра за мінімумом функції

Найменше значення функції $y = x^{2} - 6 x + c$ дорівнює $- 5$ . Побудуйте її графік.

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} - 6 x + c$ коефіцієнти $a = 1$ , $b = - 6$ . Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Підставимо $x = 3$ у рівняння функції, щоб виразити мінімальне значення через $c$ : $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + c = 9 - 18 + c = c - 9$ .
За умовою $y_{min} = - 5$ , отже, $c - 9 = - 5$ , звідки $c = 4$ . Рівняння графіка: $y = x^{2} - 6 x + 4$ .

Відповідь:

$c = 4$ ; графік — парабола з вершиною $(3; - 5)$ , що відкрита вгору.

Завдання 581

Знаходження параметра за максимумом функції

Найбільше значення функції $y = c + 4 x - 4 x^{2}$ дорівнює $4$ . Побудуй її графік.

Розв’язання

Запишемо функцію як $y = - 4 x^{2} + 4 x + c$ . Коефіцієнти: $a = - 4$ , $b = 4$ .
Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 4 )} = - \frac{4}{- 8} = 0, 5$ .
Підставимо $x = 0, 5$ у рівняння для знаходження максимального значення через $c$ : $y_{ma x} = - 4 (0, 5)^{2} + 4 (0, 5) + c = - 1 + 2 + c = 1 + c$ .
За умовою $y_{ma x} = 4$ , отже, $1 + c = 4$ , звідки $c = 3$ . Рівняння графіка: $y = - 4 x^{2} + 4 x + 3$ .

Відповідь:

$c = 3$ ; графік — парабола з вершиною $(0, 5; 4)$ , що відкрита вниз.

Завдання 582

Знаходження коефіцієнта за умовою симетрії

Графік функції $y = x^{2} + b x + 5$ симетричний відносно прямої $x = 3$ . Знайти значення $b$ .

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} + b x + 5$ коефіцієнт $a = 1$ . Формула осі симетрії: $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1} = - \frac{b}{2}$ .
За умовою відома, що $x_{0} = 3$ . Прирівнюємо вирази: $- \frac{b}{2} = 3$ .
Розв'язуємо рівняння: $- b = 6$ , отже, $b = - 6$ .

Відповідь:

$b = - 6$ .

Завдання 583

Знаходження параметра за умовою симетрії

Знайти значення $p$ , якщо графік функції $y = x^{2} + p x + 1$ симетричний відносно прямої $x = - 2$ .

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} + p x + 1$ коефіцієнти при $x^{2}$ та $x$ дорівнюють відповідно $a = 1$ і $b = p$ .
Формула координати вершини (вісь симетрії): $x_{0} = - \frac{p}{2 \cdot 1} = - \frac{p}{2}$ .
За умовою завдання вісь симетрії дорівнює $- 2$ , отже: $- \frac{p}{2} = - 2$ .
Помножимо обидві частини рівняння на $- 2$ : $p = 4$ .

Відповідь:

$p = 4$

Завдання 584

Значення параметра

p

за умовою зростання

Знайти значення $p$ , при якому проміжок $[- 2; + \infty)$ є проміжком зростання функції: а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ ; б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ .

Розв’язання

Розглянемо частину а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ . Коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому функція зростає на проміжку $[- \frac{p}{6}; + \infty)$ . За умовою цей проміжок має дорівнювати $[- 2; + \infty)$ , отже $- \frac{p}{6} = - 2$ .
Знайдемо $p$ з рівняння $- \frac{p}{6} = - 2 \Rightarrow p = 12$ . Перевіряємо: при $p = 12$ функція $y = 3 x^{2} + 12 x - 3$ , вершина в точці $x = - 2$ , функція зростає від $- 2$ до $+ \infty$ .
Розглянемо частину б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ . Щоб проміжок зростання був $[- 2; + \infty)$ , необхідно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ) і вершина була в точці $x = - 2$ .
Використовуємо формулу для абсциси вершини: $- \frac{- ( p ^{2} - 12 )}{2 p} = - 2 \Rightarrow \frac{p ^{2} - 12}{2 p} = - 2$ .
Розв'язуємо рівняння: $p^{2} - 12 = - 4 p \Rightarrow p^{2} + 4 p - 12 = 0$ . Знаходимо корені: $D = 16 - 4 \cdot (- 12) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $p_{1} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2$ , $p_{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6$ .
Оскільки потрібно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ), залишаємо лише $p = 2$ . Перевірка: при $p = 2$ функція $y = 2 x^{2} - (4 - 12) x + 6 = 2 x^{2} + 8 x + 6$ , вершина $x = - \frac{8}{4} = - 2$ , умова виконується.

Відповідь:

а) $p = 12$ ; б) $p = 2$ .