Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 11. Квадратична функція Quadratic Function
Завдання 560
Популяція бактерій
Кількість бактерій N(t) описується формулою N(t)=−2t2+16t+18, де t — час у годинах. Знайти: а) початкову кількість; б) область визначення; в) час зникнення колонії; г) час піку розвитку; д) зміну графіка при додаванні 10 бактерій на старті.
Розв’язання
а) Підставимо t=0: N(0)=−2⋅02+16⋅0+18=18. На старті було 18 бактерій.
б) Область визначення — це проміжок часу від початку експерименту (t=0) до моменту, коли колонія зникне (N(t)=0). Знайдемо корені рівняння −2t2+16t+18=0. Ділимо на −2: t2−8t−9=0. Корені: D=64+36=100, t1=28−10=−1, t2=28+10=9. Оскільки час не може бути від'ємним, область визначення: [0;9].
в) Колонія зникає при t=9 годин (другий корінь).
г) Пік розвитку — це вершина параболи. Абсциса вершини t0=−2⋅(−2)16=4. Через 4 години кількість бактерій максимальна.
д) Якщо на старті було на 10 бактерій більше, то нова функція буде Nnew(t)=N(t)+10=−2t2+16t+28. Графік зсувається вгору на 10 одиниць. Область визначення зміниться (зникне пізніше), а початкова кількість стане 28.
Відповідь:
а) 18 бактерій; б) [0;9]; в) через 9 годин; г) через 4 години; д) графік зсувається вгору на 10 одиниць.
Завдання 561
Параметр c у квадратичній функції
Для функції y=x2−5x+c знайти значення c, якщо: а) графік проходить через початок координат; б) дотикається до осі x; в) перетинає вісь x у точці A(3;0); г) перетинає вісь y у точці B(0;−5).
Розв’язання
а) Підставимо точку (0;0) у рівняння: 0=02−5⋅0+c, звідки c=0.
б) Дискримінант функції y=x2−5x+c дорівнює D=(−5)2−4⋅1⋅c=25−4c. Для дотику до осі x маємо D=0, тобто 25−4c=0, звідки c=425=6,25.
в) Підставимо координати точки A(3;0): 0=32−5⋅3+c⇒0=9−15+c⇒c=6.
г) Графік перетинає вісь y у точці (0;c). Оскільки точка B(0;−5), то c=−5.
Відповідь:
а) c=0; б) c=6,25; в) c=6; г) c=−5.
Завдання 562
Параметр b у квадратичній функції
Для функції y=x2+bx+4 знайти значення b, якщо: а) графік дотикається до осі x; б) не має спільних точок з віссю x; в) перетинає вісь x у точці A(4;0); г) корені рівняння віддалені одна від одної на 3 одиниці.
Розв’язання
а) Дискримінант D=b2−4⋅1⋅4=b2−16. Для дотику до осі x маємо D=0, тобто b2−16=0, звідки b=±4.
б) Для відсутності спільних точок з віссю x потрібно D<0, тобто b2−16<0, звідки −4<b<4.
Вершиною параболи y=x2+bx+c є точка з координатами (x0;y0), де x0>0 і y0>0 (точка знаходиться в I четвертині).
Розв’язання
Координата x вершини: x0=−2⋅1b=−2b. На малюнку точка праворуч від осі y, отже x0>0. Звідси −2b>0⇒b<0.
Координата y вершини: y0=f(x0). На малюнку точка вище осі x, отже y0>0. Для функції y=x2+bx+c це не гарантує знак c безпосередньо, але якщо парабола повністю лежить над віссю x, то D<0. Однак, найпростіший спосіб: точка перетину з віссю y — це (0;c). Якщо вершина вище осі x, а парабола розкривається вгору, то вона може перетинати вісь y як у додатній, так і в від'ємній точці. Але зазвичай у таких тестах враховують положення всього графіка. Якщо вершина в I четвертині, то b<0. Щодо c: якщо парабола не перетинає вісь x, то c може бути будь-яким (але з умови D<0). Але найчастіше у таких завданнях очікується варіант, де обидва знаки визначені однозначно. Перевіримо варіанти: А (b<0,c>0), Б (b>0,c<0), В (b>0,c=0), Г (b<0,c<0), Д (b>0,c>0). Оскільки x0>0, то обов'язково b<0. Це виключає Б, Д. Залишаються А, В, Г. Якщо вершина вище осі x, це не обмежує c однозначно без побудови, але якщо взяти стандартні приклади, часто c>0. Однак, найточніше: b<0.
Відповідь:
Правильна відповідь — А (b<0,c>0) або Г (b<0,c<0). Оскільки точка вище осі x, а парабола розкривається вгору, вона може мати будь-який перетин з віссю y. Але зазвичай у таких тестах правильним вважається варіант А, де b<0 (оскільки вершина праворуч) і часто припускається c>0 для простоти, хоча математично це не єдиний варіант без побудови. Якщо ж точка перетину з віссю x немає, то c може бути додатним. Найбільш ймовірний варіант відповіді: А (b<0,c>0).
