ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 117

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 551–559 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 551

Аналіз графіка функції за малюнком

Виконати аналіз графіка на Мал. 11.8, в (парабола, що відкрита вниз, має вершину приблизно в точці $(2; 2)$ і перетинає вісь $x$ у точках близько $0, 5$ та $3, 5$ , а вісь $y$ — у точці $(0; - 2)$ ).

Розв’язання

За графіком (Мал. 11.8, в) бачимо, що парабола відкрита вниз, отже $a < 0$ . Вершина має координати $(2; 2)$ , тому $x_{0} = 2$ , $y_{0} = 2$ .
Точки перетину з віссю $x$ (нули функції) лежать між $0, 5$ та $3, 5$ . Оскільки симетричні відносно прямої $x = 2$ , нулі це $1, 5$ і $2, 5$ (або близько цих значень за малюнком).
Точка перетину з віссю $y$ має координату $c = - 2$ .

Відповідь:

Вершина $(2; 2)$ ; нулі функції приблизно $x_{1} \approx 1, 5$ , $x_{2} \approx 2, 5$ ; коефіцієнт $a < 0$ ; точка перетину з віссю $y$ : $(0; - 2)$ .

Завдання 552

Знаходження коефіцієнтів квадратичної функції

Точка $M (3; 5)$ є вершиною параболи $y = x^{2} + m x + n$ . Знайти: а) коефіцієнти $m$ і $n$ ; б) точки перетину графіка з віссю $y$ .

Розв’язання

Знайдемо абсцису вершини за формулою: $x_{0} = - \frac{m}{2 \cdot 1} = - \frac{m}{2}$ . Оскільки точка $M (3; 5)$ — вершина, то $- \frac{m}{2} = 3$ , звідки $m = - 6$ .
Підставимо координати точки $M (3; 5)$ та знайдене значення $m$ у рівняння функції: $5 = 3^{2} + (- 6) \cdot 3 + n \Rightarrow 5 = 9 - 18 + n \Rightarrow 5 = - 9 + n$ , звідки $n = 14$ .
Отже, функція має вигляд $y = x^{2} - 6 x + 14$ . Точка перетину з віссю $y$ знаходимо при $x = 0$ : $y = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 14 = 14$ .

Відповідь:

а) $m = - 6$ , $n = 14$ ; б) графік перетинає вісь $y$ в точці $(0; 14)$ .

Завдання 553

Аналіз параболи з від'ємним коефіцієнтом при x^2

Точка $A (- 2; 1)$ є вершиною параболи $y = - x^{2} + m x + n$ . Знайти: а) коефіцієнти $m$ і $n$ ; б) точки перетину графіка з віссю $x$ .

Розв’язання

Знайдемо $m$ через абсцису вершини: $x_{0} = \frac{m}{2} = - 2$ , звідки $m = - 4$ .
Підставимо координати точки $A (- 2; 1)$ у рівняння функції з знайденим $m$ : $1 = - (- 2)^{2} + (- 4) \cdot (- 2) + n \Rightarrow 1 = - 4 + 8 + n \Rightarrow 1 = 4 + n$ , звідки $n = - 3$ .
Функція має вигляд $y = - x^{2} - 4 x - 3$ . Для знаходження точок перетину з віссю $x$ розв'яжемо рівняння $- x^{2} - 4 x - 3 = 0$ , або $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ . Корені: $(x + 1) (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

а) $m = - 4$ , $n = - 3$ ; б) графік перетинає вісь $x$ у точках $(- 1; 0)$ та $(- 3; 0)$ .

Завдання 554

Знаходження коефіцієнтів за двома точками

Графік функції $y = x^{2} + p x + q$ проходить через точки $P (1; 4)$ та $Q (- 1; 10)$ . Знайти значення $p$ і $q$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $P (1; 4)$ у формулу функції: $4 = 1^{2} + p \cdot 1 + q$ , що спрощується до $p + q = 3$ .
Підставимо координати точки $Q (- 1; 10)$ у формулу функції: $10 = (- 1)^{2} + p \cdot (- 1) + q$ , що спрощується до $- p + q = 9$ .
Складемо систему рівнянь: ${p + q = 3 - p + q = 9$ . Додамо перше і друге рівняння, щоб виключити $p$ : $(p - p) + (q + q) = 3 + 9$ , звідки $2 q = 12$ , отже $q = 6$ .
Знайдемо $p$ з першого рівняння: $p + 6 = 3$ , звідки $p = - 3$ .

Відповідь:

$p = - 3, q = 6$ .

Завдання 555

Знаходження коефіцієнтів квадратичної функції

Графік функції $y = x^{2} + b x + c$ проходить через точки $B (2; 7)$ та $C (- 2; 11)$ . Знайти значення $b$ і $c$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $B (2; 7)$ : $7 = 2^{2} + b \cdot 2 + c$ , що дає $4 b + c = 3$ (після віднімання 4 від обох частин).
Підставимо координати точки $C (- 2; 11)$ : $11 = (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) + c$ , що дає $- 2 b + c = 7$ (після віднімання 4 від обох частин).
Складемо систему: ${4 b + c = 3 - 2 b + c = 7$ . Віднімемо друге рівняння від першого: $(4 b - (- 2 b)) + (c - c) = 3 - 7$ , тобто $6 b = - 4$ , звідки $b = - \frac{2}{3}$ .
Знайдемо $c$ з другого рівняння: $- 2 \cdot (- \frac{2}{3}) + c = 7$ , тобто $\frac{4}{3} + c = 7$ . Отже, $c = 7 - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}$ .

Відповідь:

$b = - \frac{2}{3}, c = \frac{17}{3}$ .

Завдання 556

Знаходження нулів функції за точкою перетину з віссю Y

Графік функції $y = x^{2} - 5 x + c$ перетинає вісь $y$ в точці $A (0; 4)$ . Потрібно знайти, у яких точках графік перетинає вісь $x$ .

Розв’язання

Знайдемо $c$ : оскільки графік проходить через точку $(0; 4)$ , підставимо $x = 0$ і $y = 4$ у формулу: $4 = 0^{2} - 5 \cdot 0 + c$ , звідки $c = 4$ .
Запишемо рівняння для знаходження нулів: $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння, розкладемо вираз на множники: $(x - 1) (x - 4) = 0$ .
Знайдемо корені: $x_{1} = 1$ і $x_{2} = 4$ . Це координати точок перетину з віссю $x$ .

Відповідь:

Графік перетинає вісь $x$ у точках $(1; 0)$ та $(4; 0)$ .

Завдання 557

Перетин графіка з віссю

x

Графік функції $y = x^{2} - 3 x + c$ перетинає вісь $y$ в точці $A (0; 3)$ . Потрібно визначити, чи перетинає графік вісь $x$ .

Розв’язання

Оскільки графік проходить через точку $A (0; 3)$ , підставимо $x = 0$ і $y = 3$ у рівняння: $3 = 0^{2} - 3 \cdot 0 + c$ , звідки $c = 3$ .
Отримуємо повне рівняння функції: $y = x^{2} - 3 x + 3$ . Розглянемо відповідне квадратне рівняння для знаходження перетину з віссю $x$ : $x^{2} - 3 x + 3 = 0$ .
Знайдемо дискримінант: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = - 3$ . Оскільки $D < 0$ , рівняння не має дійсних коренів.

Відповідь:

Графік функції вісь $x$ не перетинає.

Завдання 558

Аналіз профілю перевалу

Профіль дороги описується функцією $h (x) = - 0, 5 x^{2} + 4 x + 120$ , де $h (x)$ — висота над рівнем моря (м), а $x$ — відстань від початку ділянки (км). Потрібно знайти: а) форму перевалу; б) координати найвищої точки.

Розв’язання

Коефіцієнти функції: $a = - 0, 5$ , $b = 4$ , $c = 120$ . Оскільки $a < 0$ , перевал має форму гори (вершина є найвищою точкою).
Знайдемо координату $x$ вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = - \frac{4}{- 1} = 4$ .
Знайдемо висоту в цій точці ( $y_{0}$ ): підставимо $x = 4$ у функцію: $h (4) = - 0, 5 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 120 = - 0, 5 \cdot 16 + 16 + 120 = - 8 + 16 + 120 = 128$ .

Відповідь:

а) Перевал має форму гори (парабола розкривається вниз); б) найвища точка знаходиться на відстані $4 км$ від початку ділянки і має висоту $128 м$ .

Завдання 559

Дослідження траєкторії м'яча

Висота м'яча описується формулою $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2, 5$ . Потрібно знайти: а) тип траєкторії; б) час падіння на землю; в) максимальну висоту.

Розв’язання

а) Оскільки коефіцієнт при $t^{2}$ від'ємний ( $a = - 5$ ), траєкторія м'яча — це частина параболи, розкритої вниз (м'яч летить вгору і падає вниз).
б) Знайдемо час падіння, розв'язавши рівняння $- 5 t^{2} + 20 t + 2, 5 = 0$ . Помножимо на $- 2$ , щоб позбутися десяткового дробу: $10 t^{2} - 40 t - 5 = 0$ , або скоротимо на $5$ : $2 t^{2} - 8 t - 1 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 64 + 8 = 72$ . Корені: $t = \frac{8 \pm 72}{4} = \frac{8 \pm 6 2}{4} = 2 \pm \frac{3 2}{2}$ . Оскільки час не може бути від'ємним, беремо додатний корінь: $t \approx 2 + 2, 12 = 4, 12$ с.
в) Знайдемо максимальну висоту (координата вершини). $t_{ma x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ . Підставимо $t = 2$ у функцію: $h (2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 2, 5 = - 20 + 40 + 2, 5 = 22, 5 м$ .

Відповідь:

а) Траєкторія — частина параболи; б) м'яч впаде на землю приблизно через $4, 12$ с (точніше $2 + 1, 52$ с); в) максимальна висота становить $22, 5 м$ .