ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 116

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 536–550 · 15 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 536

Координати вершини параболи

Записати координати вершини для функцій: а) $y = (x - 3)^{2}$ ; б) $y = 2 (3 - x)^{2}$ ; в) $y = (x - 5)^{2} + 2$ ; г) $y = 2 (5 - x)^{2} - 3$ ; ґ) $y = 2 (x + 1)^{2} + 1$ ; д) $y = - 2 (x - 1)^{2} - 3$ .

Розв’язання

Для а) форма $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ , де $x_{0} = 3, y_{0} = 0$ . Вершина $(3; 0)$ .
Для б) перетворимо $2 (3 - x)^{2}$ на $2 (- (x - 3))^{2} = 2 (x - 3)^{2}$ . Тут $x_{0} = 3, y_{0} = 0$ . Вершина $(3; 0)$ .
Для в) форма очевидна: $x_{0} = 5, y_{0} = 2$ . Вершина $(5; 2)$ .
Для г) перетворимо $2 (5 - x)^{2}$ на $2 (- (x - 5))^{2} = 2 (x - 5)^{2}$ . Тут $x_{0} = 5, y_{0} = - 3$ . Вершина $(5; - 3)$ .
Для ґ) форма очевидна: $x_{0} = - 1, y_{0} = 1$ . Вершина $(- 1; 1)$ .
Для д) форма очевидна: $x_{0} = 1, y_{0} = - 3$ . Вершина $(1; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(3; 0)$ ; б) $(3; 0)$ ; в) $(5; 2)$ ; г) $(5; - 3)$ ; ґ) $(- 1; 1)$ ; д) $(1; - 3)$ .

Завдання 537

Координати вершини параболи (загальний вигляд)

Знайти координати вершини для функцій: а) $y = x^{2} + 4 x - 5$ ; б) $y = 2 x^{2} - 6 x + 3$ ; в) $y = x^{2} - 4 x$ ; г) $y = x^{2} - 4$ .

Розв’язання

а) $a = 1, b = 4$ . $x_{v} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ . $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$ . Вершина $(- 2; - 9)$ .
б) $a = 2, b = - 6$ . $x_{v} = - \frac{- 6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1, 5$ . $y_{v} = 2 (1, 5)^{2} - 6 (1, 5) + 3 = 2 (2, 25) - 9 + 3 = 4, 5 - 9 + 3 = - 1, 5$ . Вершина $(1, 5; - 1, 5)$ .
в) $a = 1, b = - 4$ . $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . $y_{v} = 2^{2} - 4 (2) = 4 - 8 = - 4$ . Вершина $(2; - 4)$ .
г) $a = 1, b = 0$ . $x_{v} = - \frac{0}{2 \cdot 1} = 0$ . $y_{v} = 0^{2} - 4 = - 4$ . Вершина $(0; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; - 9)$ ; б) $(1, 5; - 1, 5)$ ; в) $(2; - 4)$ ; г) $(0; - 4)$ .

Завдання 538

Координати вершини параболи (загальний вигляд)

Знайти координати вершини для функцій: а) $y = x^{2} - 10 x - 7$ ; б) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 5$ ; в) $y = x^{2} + 6 x$ ; г) $y = 2 - x^{2}$ .

Розв’язання

а) $a = 1, b = - 10$ . $x_{v} = - \frac{- 10}{2 \cdot 1} = 5$ . $y_{v} = 5^{2} - 10 (5) - 7 = 25 - 50 - 7 = - 32$ . Вершина $(5; - 32)$ .
б) $a = - 3, b = 12$ . $x_{v} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 3 )} = - \frac{12}{- 6} = 2$ . $y_{v} = - 3 (2)^{2} + 12 (2) - 5 = - 12 + 24 - 5 = 7$ . Вершина $(2; 7)$ .
в) $a = 1, b = 6$ . $x_{v} = - \frac{6}{2 \cdot 1} = - 3$ . $y_{v} = (- 3)^{2} + 6 (- 3) = 9 - 18 = - 9$ . Вершина $(- 3; - 9)$ .
г) $a = - 1, b = 0$ (оскільки $y = - x^{2} + 2$ ). $x_{v} = - \frac{0}{2 \cdot ( - 1 )} = 0$ . $y_{v} = 2 - 0^{2} = 2$ . Вершина $(0; 2)$ .

Відповідь:

а) $(5; - 32)$ ; б) $(2; 7)$ ; в) $(- 3; - 9)$ ; г) $(0; 2)$ .

Завдання 539

Знаходження функції за вершиною параболи

Потрібно обрати функцію, графік якої є параболою з вершиною в точці $(- 2; 0)$ . Варіанти відповідей: А) $y = x^{2} - 2$ , Б) $y = (x - 2)^{2}$ , В) $y = (x + 2)^{2}$ , Г) $y = - 2 x^{2}$ , Д) $y = x^{2} + 2$ .

Розв’язання

Запишемо загальний вигляд рівняння параболи з вершиною в точці $(- 2; 0)$ : $y = a (x - (- 2))^{2} + 0$ , що спрощується до $y = a (x + 2)^{2}$ .
Оскільки це стандартна парабола без зміни напрямку гілок (варіанти А, Б, В, Д мають коефіцієнт $a = 1$ ), припустимо $a = 1$ . Отримуємо рівняння $y = (x + 2)^{2}$ .
Перевіримо варіанти: у варіанті В маємо саме таке рівняння. У варіантах А, Б, Д вершина знаходиться в інших точках ( $0; - 2$ ), $(2; 0)$ , $(0; 2)$ .

Відповідь:

Завдання 540

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки для наборів функцій: а) $y = 2 x^{2}$ , $y = 0, 5 x^{2}$ , $y = 2 x^{2} + 1$ ; б) $y = - 2 x^{2}$ , $y = - 0, 5 x^{2}$ , $y = - 0, 5 x^{2} - 2$ .

Розв’язання

Частина а):
- Для $y = 2 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, ширша за $y = x^{2}$ .
- Для $y = 0, 5 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, вузьша за $y = x^{2}$ (ширша).
- Для $y = 2 x^{2} + 1$ : вершина $(0; 1)$ , гілки вгору, це графік функції $y = 2 x^{2}$ , зсунутий на 1 одиницю вгору.
Частина б):
- Для $y = - 2 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вниз.
- Для $y = - 0, 5 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вниз, ширша за $y = - x^{2}$ .
- Для $y = - 0, 5 x^{2} - 2$ : вершина $(0; - 2)$ , гілки вниз, це графік функції $y = - 0, 5 x^{2}$ , зсунутий на 2 одиниці вниз.

Відповідь:

Графіки побудовані за описаними властивостями (вершини та напрямлення гілок).

Завдання 541

Перетворення квадратичних тричленів у повний квадрат

Дати відповідність або перетворити вирази, щоб побачити їх як повні квадрати: а) $y = (x - 1)^{2}$ ; б) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; в) $y = x^{2} - 6 x + 9$ ; г) $y = x^{2} + 4 x + 4$ .

Розв’язання

Приклади а) і б): Вираз $y = (x - 1)^{2}$ вже є у вигляді повного квадрата. Розкриємо дужки у $y = x^{2} - 2 x + 1$ : $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ . Це одна й та сама функція, вершина якої $(1; 0)$ .
Приклади в) і г): Перевіримо $y = x^{2} - 6 x + 9$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $- 6$ , половина цього числа $- 3$ , квадрат якого $9$ . Отже, $y = (x - 3)^{2}$ . Вершина $(3; 0)$ .
Перевіримо $y = x^{2} + 4 x + 4$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $4$ , половина $2$ , квадрат $4$ . Отже, $y = (x + 2)^{2}$ . Вершина $(- 2; 0)$ .

Відповідь:

а) $y = (x - 1)^{2}$ ; б) $y = (x - 1)^{2}$ ; в) $y = (x - 3)^{2}$ ; г) $y = (x + 2)^{2}$ .

Завдання 542

Нулі функцій та точка перетину з віссю OY

а) $y = x (x - 2)$ ; б) $y = 2 x^{2} - 6 x$ ; в) $y = x^{2} - 3 x + 2$ ; г) $y = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $x (x - 2) = 0$ . Отримуємо корені $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ . Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0$ .
б) Розв'язуємо $2 x (x - 3) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0$ .
в) Розв'язуємо $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ (корені $1, 2$ ). При $x = 0$ , $y = 2$ . Точка $(0; 2)$ .
г) Розв'язуємо $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ( $D = 16 - 12 = 4$ , корені $\frac{4 \pm 2}{6}$ , тобто $1, \frac{1}{3}$ ). При $x = 0$ , $y = 1$ . Точка $(0; 1)$ .

Відповідь:

а) нулі: $0, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . б) нулі: $0, 3$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . в) нулі: $1, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 2)$ . г) нулі: $\frac{1}{3}, 1$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 1)$ .

Завдання 543

Нулі функцій та точка перетину з віссю OY (продовження)

а) $y = x (x + 5)$ ; б) $y = x^{2} - 2$ ; в) $y = x^{2} - 2 x - 3$ ; г) $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $x (x + 5) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ . При $x = 0$ , $y = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
б) Рівняння $x^{2} - 2 = 0$ має корені $\pm 2$ . При $x = 0$ , $y = - 2$ . Точка $(0; - 2)$ .
в) Розв'язуємо $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Корені: $- 1, 3$ . При $x = 0$ , $y = - 3$ . Точка $(0; - 3)$ .
г) Розв'язуємо $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ( $D = 25 - 16 = 9$ , корені $\frac{5 \pm 3}{4}$ , тобто $2, \frac{1}{2}$ ). При $x = 0$ , $y = 2$ . Точка $(0; 2)$ .

Відповідь:

а) нулі: $0, - 5$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . б) нулі: $2, - 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; - 2)$ . в) нулі: $- 1, 3$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; - 3)$ . г) нулі: $\frac{1}{2}, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 2)$ .

Завдання 544

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 2 x + 5$ ; б) $y = x^{2} + 6 x + 3$ ; в) $y = x^{2} + 2 x + 4$ ; г) $y = - x^{2} - 8 x - 10$ .

Розв’язання

а) $y = (x - 1)^{2} + 4$ . Вершина $M (1; 4)$ , гілки вгору ( $a > 0$ ). Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; 5)$ .
б) $y = (x + 3)^{2} - 6$ . Вершина $M (- 3; - 6)$ , гілки вгору. Нулі: $- 3 \pm 6$ . Перетин з віссю $O y$ : $(0; 3)$ .
в) $y = (x + 1)^{2} + 3$ . Вершина $M (- 1; 3)$ , гілки вгору. Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; 4)$ .
г) $y = - (x + 4)^{2} - 2$ . Вершина $M (- 4; - 2)$ , гілки вниз ( $a < 0$ ). Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; - 10)$ .

Відповідь:

а) вершина $(1; 4)$ , парабола відкрита вгору, нулів немає. б) вершина $(- 3; - 6)$ , парабола відкрита вгору, нулі існують. в) вершина $(- 1; 3)$ , парабола відкрита вгору, нулів немає. г) вершина $(- 4; - 2)$ , парабола відкрита вниз, нулів немає.

Завдання 545

Знайди координати вершини параболи та побудуй її

а) $y = x^{2} - 2 x - 8$ ;
б) $y = x^{2} - 4 x - 2$ ;
в) $y = x^{2} + 6 x + 5$ ;
ґ) $y = - x^{2} - 10 x - 27$ .

Розв’язання

Пункт а) $y = x^{2} - 2 x - 8$ . Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Обчислимо ординату: $y (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9$ . Вершина: $(1; - 9)$ .
Пункт б) $y = x^{2} - 4 x - 2$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . Ордината: $y (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 - 2 = - 6$ . Вершина: $(2; - 6)$ .
Пункт в) $y = x^{2} + 6 x + 5$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot 1} = - 3$ . Ордината: $y (- 3) = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$ . Вершина: $(- 3; - 4)$ .
Пункт ґ) $y = - x^{2} - 10 x - 27$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 10}{2 \cdot ( - 1 )} = - 5$ . Ордината: $y (- 5) = - (- 5)^{2} - 10 \cdot (- 5) - 27 = - 25 + 50 - 27 = - 2$ . Вершина: $(- 5; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(1; - 9)$ ;
б) $(2; - 6)$ ;
в) $(- 3; - 4)$ ;
ґ) $(- 5; - 2)$ .

---

Завдання 546

Запиши координати вершини параболи

а) $y = (x - 1)^{2} + 2$ ;
б) $y = (x + 2)^{2} + 1$ .

Розв’язання

Пункт а) Рівняння має вигляд $y = (x - 1)^{2} + 2$ . Це відповідає формулі з $x_{0} = 1$ та $y_{0} = 2$ . Отже, вершина знаходиться в точці $(1; 2)$ .
Пункт б) Рівняння має вигляд $y = (x + 2)^{2} + 1$ . Запишемо це як $y = (x - (- 2))^{2} + 1$ . Тут $x_{0} = - 2$ та $y_{0} = 1$ . Вершина знаходиться в точці $(- 2; 1)$ .

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ;
б) $(- 2; 1)$ .

---

Завдання 547

Запиши координати вершини параболи

а) $y = (x + 4)^{2} + 2$ ;
б) $y = (x - 2)^{2} - 3$ .

Розв’язання

Пункт а) Рівняння $y = (x + 4)^{2} + 2$ можна переписати як $y = (x - (- 4))^{2} + 2$ . Тут $x_{0} = - 4$ , а $y_{0} = 2$ . Вершина має координати $(- 4; 2)$ .
Пункт б) Рівняння $y = (x - 2)^{2} - 3$ вже у зручному вигляді. Тут $x_{0} = 2$ , а $y_{0} = - 3$ . Вершина має координати $(2; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 4; 2)$ ;
б) $(2; - 3)$ .

Завдання 548

Побудова параболи виділенням квадрата двочлена

а) $y = x^{2} + 4 x + 5$ ; б) $y = x^{2} - 6 x + 5$ .

Розв’язання

а) $y = x^{2} + 4 x + 5$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 5 = (x + 2)^{2} + 1$ . Вершина: $(- 2; 1)$ .
б) $y = x^{2} - 6 x + 5$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ . Вершина: $(3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $y = (x + 2)^{2} + 1$ , вершина $(- 2; 1)$ ; б) $y = (x - 3)^{2} - 4$ , вершина $(3; - 4)$ .

Завдання 549

Побудова параболи виділенням квадрата двочлена

а) $y = x^{2} - 2 x - 1$ ; б) $y = 1 + 4 x + x^{2}$ .

Розв’язання

а) $y = x^{2} - 2 x - 1$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} - 2 x + 1) - 1 - 1 = (x - 1)^{2} - 2$ . Вершина: $(1; - 2)$ , гілки вгору.
б) $y = x^{2} + 4 x + 1$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ . Вершина: $(- 2; - 3)$ , гілки вгору.

Відповідь:

а) $y = (x - 1)^{2} - 2$ , вершина $(1; - 2)$ ; б) $y = (x + 2)^{2} - 3$ , вершина $(- 2; - 3)$ .

Завдання 550

Аналіз графіків квадратичних функцій

На мал. 11.8, а, б дано графіки квадратичних функцій. Знайди для кожної з них за графіком: а) знак дискримінанта; б) знак першого коефіцієнта; в) координати вершини параболи; г) нулі функції; ґ) проміжки, на яких функція зростає, спадає.

Розв’язання

а) Знак дискримінанта: оскільки параболи перетинають вісь абсцис у двох різних точках, то $D > 0$ для обох графіків.
б) Знак коефіцієнта $a$ : гілки обох парабол спрямовані вгору, отже $a > 0$ .
в) Координати вершини: точні координати неможливо визначити без чіткого зображення сітки, але зазвичай це точка мінімуму між перетинами з віссю $x$ .
г) Нулі функції: це абсциси точок перетину графіків із віссю $x$ (наприклад, для а) $x_{1} \approx - 0.8$ , $x_{2} \approx 1.5$ ; для б) $x_{1} \approx 0.5$ , $x_{2} \approx 2.2$ — точні значення залежать від масштабу малюнка).
ґ) Проміжки: функція спадає на проміжку $(- \infty; x_{вершини}]$ і зростає на проміжку $[x_{вершини}; + \infty)$ , де $x_{вершини}$ — абсциса вершини.

Відповідь:

а) $D > 0$ ; б) $a > 0$ ; в) координати беруться з малюнка (точка мінімуму); г) нулі — точки перетину з віссю $x$ ; ґ) спадає до вершини, зростає після вершини. (Для точного розв'язання потрібне чітке зображення малюнків).