ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 115

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 527–535 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 527

Порівняння графіків квадратичних функцій

Чим різняться графіки функцій $y = a x^{2} + b x + c$ і $y = a x^{2}$ ?

Розв’язання

Графік функції $y = a x^{2}$ — це парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ .
Графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ — це парабола, вершина якої знаходиться в іншій точці (координати якої залежать від коефіцієнтів $b$ і $c$ ).
Отже, основна різниця полягає в тому, що графік першої функції зсунутий відносно графіка другої, а вершина не знаходиться в початку координат.

Відповідь:

Графіки відрізняються положенням вершини параболи (для $y = a x^{2}$ вершина в $(0; 0)$ ) та загальним зсувом графіка відносно осей координат.

Завдання 528

Умови положення параболи щодо осей

За якої умови графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ : а) напрямлений гілками вгору; б) напрямлений гілками вниз; в) дотикається до осі абсцис; г) перетинає вісь абсцис?

Розв’язання

Для напрямлення гілок вгору необхідно, щоб коефіцієнт при $x^{2}$ був додатним ( $a > 0$ ).
Для напрямлення гілок вниз необхідно, щоб коефіцієнт при $x^{2}$ був від'ємним ( $a < 0$ ).
Якщо парабола дотикається до осі абсцис, рівняння має один корінь, тобто дискримінант дорівнює нулю ( $D = 0$ ).
Якщо парабола перетинає вісь абсцис у двох різних точках, дискримінант додатний ( $D > 0$ ).

Відповідь:

а) $a > 0$ ; б) $a < 0$ ; в) $D = 0$ ; г) $D > 0$ .

Завдання 529

Знаходження абсциси вершини параболи

Знайди абсцису вершини параболи $y = x^{2} - 6 x + 4$ . Варіанти відповідей: А –3, Б 3, В –2, Г 6.

Розв’язання

У функції $y = x^{2} - 6 x + 4$ коефіцієнти такі: $a = 1$ , $b = - 6$ .
Підставимо значення у формулу: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

Відповідь:

Б 3

Завдання 530

Знаходження нулів функцій

а) $y = 2 x^{2}$ ; б) $y = x^{2} - 7 x$ ; в) $y = x^{2} - 9$ .

Розв’язання

а) Прирівнюємо $2 x^{2}$ до нуля: $2 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ .
б) Виділяємо спільний множник $x$ : $x (x - 7) = 0$ . Отже, $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 7$ .
в) Це різниця квадратів: $(x - 3) (x + 3) = 0$ . Отже, $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

а) $x = 0$ ; б) $x_{1} = 0, x_{2} = 7$ ; в) $x_{1} = 3, x_{2} = - 3$ .

Завдання 531

Розгадування ребуса

На зображенні (мал. 11.6) показані літери, які потрібно прочитати за допомогою карток-підказок. Літери «Б», «П» та «Я» утворюють слово.

Розв’язання

На малюнку навколо картопліни видно літери «Б», «П» та «Я».
Складання цих літер дає слово «БПЯ». Однак, оглядаючи уважно зображення в контексті шкільних підручників, часто такі ребуси мають відповісти на питання типу «Що це?» або є частиною іншого завдання (наприклад, про картоплю). Але якщо розглядати лише літери: Б, П, Я.
Примітка: У тексті завдання 531 написано «Розгадай ребус». На малюнку видно картоплину та літери Б, П, Я. Це може бути абревіатура або частина іншого контексту, але без додаткових пояснень підручника точне слово неможливо визначити лише за зображенням. Однак, якщо це стандартний ребус, можливо, треба читати літери в порядку: Б-П-Я (БПЯ). Але найімовірніше, це частина завдання на уважність або асоціацію. Давайте припустимо, що потрібно просто назвати літери.

Відповідь:

Літери Б, П, Я (слово «БПЯ» або відповідь залежить від контексту, який не повністю чіткий без додаткових пояснень підручника, але літери на зображенні — Б, П, Я).

Завдання 532

Кількість точок перетину параболи з віссю

x

Парабола задана рівнянням $y = x^{2} - 3 x + 4$ . Потрібно визначити кількість точок перетину цієї параболи з віссю абсцис.

Розв’язання

У рівнянні $y = x^{2} - 3 x + 4$ коефіцієнти такі: $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 4$ .
Обчислимо дискримінант: $Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = - 7$ .
Оскільки $Δ < 0$ , рівняння $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ не має дійсних коренів, отже, парабола не перетинає вісь $x$ .

Відповідь:

В жодної.

Завдання 533

Точка перетину з віссю ординат

Знайти точку, в якій парабола $y = 5 x^{2} - 6 x + 9$ перетинає вісь $y$ .

Розв’язання

Підставимо $x = 0$ у рівняння функції: $y = 5 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + 9$ .
Обчислимо значення: $y = 0 - 0 + 9$ , отже $y = 9$ .

Відповідь:

Точка $(0; 9)$ (варіант В).

Завдання 534

Аналіз графіка квадратичної функції

За графіком функції $y = a x^{2} + b x + c$ (мал. 11.7) знайти: а) область визначення; б) знак коефіцієнта $a$ ; в) координати вершини; г) область значень; д) нулі функції; е) найменше значення; є) проміжки зростання та спадання; ж) проміжки додатних і від'ємних значень.

Розв’язання

Область визначення: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Гілки направлені вгору, отже $a > 0$ (знак плюс).
Вершина параболи знаходиться в точці $(1; - 1)$ (абсциса 1, ордината -1).
Область значень: $y \in [- 1; + \infty)$ .
Нулі функції (перетин з віссю $x$ ): точки $(0; 0)$ та $(2; 0)$ .
Найменше значення (ордината вершини): $- 1$ .
Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ і зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .
Значення додатні при $x < 0$ та $x > 2$ ; від'ємні при $0 < x < 2$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $a > 0$ ; в) $(1; - 1)$ ; г) $[- 1; + \infty)$ ; д) $x_{1} = 0, x_{2} = 2$ ; е) $- 1$ ; є) зростає $[1; + \infty)$ , спадає $(- \infty; 1]$ ; ж) додатні $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ , від'ємні $(0; 2)$ .

Завдання 535

Гра «Вершина параболи

Один учень називає число $k$ , інший має записати координати вершини параболи $y = (x + k)^{2}$ . Потім ролі міняються.

Розв’язання

Запишемо функцію у загальному вигляді зручної форми: $y = (x - (- k))^{2} + 0$ .
Порівняємо з формулою вершини $y = a (x - x_{v})^{2} + y_{v}$ . Тут $x_{v} = - k$ і $y_{v} = 0$ .
Отже, координати вершини: $(- k; 0)$ .

Відповідь:

Координати вершини параболи дорівнюють $(- k; 0)$ .