Завдання 586, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 586

Рівність мінімуму та максимуму функцій з параметром

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 6 x + a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 6 x + a$ : коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому мінімум у вершині. $x_{v 1} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + a = 9 - 18 + a = a - 9$ .
Для функції $y_{2} = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ : коефіцієнт $- 2 < 0$ , тому максимум у вершині. $x_{v 2} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{ma x} = - 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 5 a = - 18 + 36 + 5 a = 18 + 5 a$ .
За умовою мінімум першої функції дорівнює максимуму другої: $a - 9 = 18 + 5 a$ .
Розв'язуємо рівняння: $a - 5 a = 18 + 9 \Rightarrow - 4 a = 27 \Rightarrow a = - \frac{27}{4} = - 6, 75$ .

Відповідь:

$a = - 6, 75$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 586 с. 120

Рівність мінімуму та максимуму функцій з параметром

Умова

Що треба знати

Найменше значення квадратичної функції з від'ємним коефіцієнтом при $x^{2}$ ( $a > 0$ ) досягається в вершині. Найбільше значення функції з додатним коефіцієнтом при $x^{2}$ ( $a < 0$ ) також досягається в вершині. Знайдемо ці значення через координату вершини та підставимо їх у рівність.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайдіть мінімум першої функції за формулою $y_{min} = y (x_{v})$ , а максимум другої — аналогічно. Прирівняйте отримані вирази до $a$ і розв'яжіть рівняння.

Розв’язання крок за кроком

Для функції $y_{1} = x^{2} - 6 x + a$ : коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому мінімум у вершині. $x_{v 1} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + a = 9 - 18 + a = a - 9$ .
Для функції $y_{2} = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ : коефіцієнт $- 2 < 0$ , тому максимум у вершині. $x_{v 2} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{ma x} = - 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 5 a = - 18 + 36 + 5 a = 18 + 5 a$ .
За умовою мінімум першої функції дорівнює максимуму другої: $a - 9 = 18 + 5 a$ .
Розв'язуємо рівняння: $a - 5 a = 18 + 9 \Rightarrow - 4 a = 27 \Rightarrow a = - \frac{27}{4} = - 6, 75$ .

Відповідь:

$a = - 6, 75$ .

Розбір зрозумілий?