Завдання 585, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 585

Знаходження параметра за проміжком зростання

За якого значення $a$ проміжок $(- \infty; 3]$ є проміжком зростання функції: а) $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ ; б) $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ ?

Розв’язання

Розглянемо підпункт а). Функція має вигляд $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний ( $- 2 < 0$ ), парабола розкривається вниз, тому проміжок зростання — це $(- \infty; x_{v}]$ , де $x_{v} = - \frac{a}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{a}{4}$ .
За умовою проміжок зростання дорівнює $(- \infty; 3]$ , отже, координата вершини має дорівнювати 3: $\frac{a}{4} = 3$ . Звідси $a = 12$ .
Розглянемо підпункт б). Функція $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ . Щоб функція мала проміжок зростання, гілки параболі мають йти вниз, тобто $a < 0$ . Координата вершини: $x_{v} = - \frac{- ( a ^{2} - 7 )}{2 a} = \frac{a ^{2} - 7}{2 a}$ .
Прирівнюємо координату вершини до 3: $\frac{a ^{2} - 7}{2 a} = 3$ . Помножимо на $2 a$ (враховуючи, що $a < 0$ , знак не змінюється): $a^{2} - 7 = 6 a \Rightarrow a^{2} - 6 a - 7 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 36 - 4 \cdot (- 7) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $a_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ , $a_{2} = \frac{6 - 8}{2} = - 1$ .

Відповідь:

а) $a = 12$ ; б) $a = - 1$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 585 с. 120

Знаходження параметра за проміжком зростання

Умова

За якого значення $a$ проміжок $(- \infty; 3]$ є проміжком зростання функції: а) $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ ; б) $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ ?

Що треба знати

Проміжок зростання квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ — це проміжок від $- \infty$ до координати вершини параболі, якщо гілки направлені вниз ( $a < 0$ ). Координата осі симетрії (вершини) дорівнює $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для функції а) знайди координату вершини та прирівняй її до правого кінця заданого проміжку. Для функції б) спочатку визнач, за яких умов графік йде вниз, а потім вираз $a$ через рівність осі симетрії і числа 3.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо підпункт а). Функція має вигляд $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний ( $- 2 < 0$ ), парабола розкривається вниз, тому проміжок зростання — це $(- \infty; x_{v}]$ , де $x_{v} = - \frac{a}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{a}{4}$ .
За умовою проміжок зростання дорівнює $(- \infty; 3]$ , отже, координата вершини має дорівнювати 3: $\frac{a}{4} = 3$ . Звідси $a = 12$ .
Розглянемо підпункт б). Функція $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ . Щоб функція мала проміжок зростання, гілки параболі мають йти вниз, тобто $a < 0$ . Координата вершини: $x_{v} = - \frac{- ( a ^{2} - 7 )}{2 a} = \frac{a ^{2} - 7}{2 a}$ .
Прирівнюємо координату вершини до 3: $\frac{a ^{2} - 7}{2 a} = 3$ . Помножимо на $2 a$ (враховуючи, що $a < 0$ , знак не змінюється): $a^{2} - 7 = 6 a \Rightarrow a^{2} - 6 a - 7 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 36 - 4 \cdot (- 7) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $a_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ , $a_{2} = \frac{6 - 8}{2} = - 1$ .

Відповідь:

а) $a = 12$ ; б) $a = - 1$ .

Розбір зрозумілий?