Завдання 584, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 584

Значення параметра

p

за умовою зростання

Знайти значення $p$ , при якому проміжок $[- 2; + \infty)$ є проміжком зростання функції: а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ ; б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ .

Розв’язання

Розглянемо частину а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ . Коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому функція зростає на проміжку $[- \frac{p}{6}; + \infty)$ . За умовою цей проміжок має дорівнювати $[- 2; + \infty)$ , отже $- \frac{p}{6} = - 2$ .
Знайдемо $p$ з рівняння $- \frac{p}{6} = - 2 \Rightarrow p = 12$ . Перевіряємо: при $p = 12$ функція $y = 3 x^{2} + 12 x - 3$ , вершина в точці $x = - 2$ , функція зростає від $- 2$ до $+ \infty$ .
Розглянемо частину б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ . Щоб проміжок зростання був $[- 2; + \infty)$ , необхідно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ) і вершина була в точці $x = - 2$ .
Використовуємо формулу для абсциси вершини: $- \frac{- ( p ^{2} - 12 )}{2 p} = - 2 \Rightarrow \frac{p ^{2} - 12}{2 p} = - 2$ .
Розв'язуємо рівняння: $p^{2} - 12 = - 4 p \Rightarrow p^{2} + 4 p - 12 = 0$ . Знаходимо корені: $D = 16 - 4 \cdot (- 12) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $p_{1} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2$ , $p_{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6$ .
Оскільки потрібно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ), залишаємо лише $p = 2$ . Перевірка: при $p = 2$ функція $y = 2 x^{2} - (4 - 12) x + 6 = 2 x^{2} + 8 x + 6$ , вершина $x = - \frac{8}{4} = - 2$ , умова виконується.

Відповідь:

а) $p = 12$ ; б) $p = 2$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 584 с. 119

Значення параметра $p$ за умовою зростання

Умова

Що треба знати

Графік квадратичної функції $y = a x^{2} + b x + c$ — парабола. Якщо $a > 0$ , то парабола відкрита вгору, і вона зростає при $x \geq - \frac{b}{2 a}$ . Якщо $a < 0$ , парабола відкрита вниз, і вона зростає при $x \leq - \frac{b}{2 a}$ . Для того щоб проміжок $[- 2; + \infty)$ був проміжком зростання, вершина параболі має знаходитися в точці $x = - 2$ , а коефіцієнт при $x^{2}$ має бути додатним.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визначимо знак коефіцієнта при $x^{2}$ для кожної функції. Потім скористаємося формулою абсциси вершини параболі $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ і прирівняємо її до $- 2$ .

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо частину а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ . Коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому функція зростає на проміжку $[- \frac{p}{6}; + \infty)$ . За умовою цей проміжок має дорівнювати $[- 2; + \infty)$ , отже $- \frac{p}{6} = - 2$ .
Знайдемо $p$ з рівняння $- \frac{p}{6} = - 2 \Rightarrow p = 12$ . Перевіряємо: при $p = 12$ функція $y = 3 x^{2} + 12 x - 3$ , вершина в точці $x = - 2$ , функція зростає від $- 2$ до $+ \infty$ .
Розглянемо частину б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ . Щоб проміжок зростання був $[- 2; + \infty)$ , необхідно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ) і вершина була в точці $x = - 2$ .
Використовуємо формулу для абсциси вершини: $- \frac{- ( p ^{2} - 12 )}{2 p} = - 2 \Rightarrow \frac{p ^{2} - 12}{2 p} = - 2$ .
Розв'язуємо рівняння: $p^{2} - 12 = - 4 p \Rightarrow p^{2} + 4 p - 12 = 0$ . Знаходимо корені: $D = 16 - 4 \cdot (- 12) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $p_{1} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2$ , $p_{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6$ .
Оскільки потрібно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ), залишаємо лише $p = 2$ . Перевірка: при $p = 2$ функція $y = 2 x^{2} - (4 - 12) x + 6 = 2 x^{2} + 8 x + 6$ , вершина $x = - \frac{8}{4} = - 2$ , умова виконується.

Відповідь:

а) $p = 12$ ; б) $p = 2$ .

Розбір зрозумілий?