Завдання 570, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 570

Проміжки зростання та спадання функцій

а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ ;
б) $y = 1 - 5 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ .

Розв’язання

Функція а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ . Тут $a = 1 > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ . Область значень: $y_{min} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 35 = 1 - 2 - 35 = - 36$ . Проміжки: спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ . Область значень $[- 36; + \infty)$ .
Функція б) $y = - x^{2} - 5 x + 1$ . Тут $a = - 1 < 0$ , тому функція зростає до вершини і спадає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 5}{- 2} = - 2, 5$ . Область значень: $y_{ma x} = - (- 2, 5)^{2} - 5 (- 2, 5) + 1 = - 6, 25 + 12, 5 + 1 = 7, 25$ . Проміжки: зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ . Область значень $(- \infty; 7, 25]$ .
Функція в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ . Тут $a = \frac{1}{3} > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 4}{2/3} = 6$ . Область значень: $y_{min} = \frac{1}{3} (6)^{2} - 4 (6) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3$ . Проміжки: спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ . Область значень $[3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ , область значень $[- 36; + \infty)$ ;
б) Зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ , область значень $(- \infty; 7, 25]$ ;
в) Спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ , область значень $[3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 570 с. 119

Проміжки зростання та спадання функцій

Умова

а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ ;
б) $y = 1 - 5 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ .

Що треба знати

Для функції $y = a x^{2} + b x + c$ вершина параболи знаходиться в точці $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Якщо $a > 0$ , функція спадає на проміжку $(- \infty; x_{0}]$ і зростає на $[x_{0}; + \infty)$ . Якщо $a < 0$ , функція зростає на $(- \infty; x_{0}]$ і спадає на $[x_{0}; + \infty)$ . Область значень визначається через координату $y$ вершини.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди координату $x$ вершини для кожної функції, а потім визнач проміжки зростання та спадання залежно від знаку коефіцієнта $a$ .

Розв’язання крок за кроком

Функція а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ . Тут $a = 1 > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ . Область значень: $y_{min} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 35 = 1 - 2 - 35 = - 36$ . Проміжки: спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ . Область значень $[- 36; + \infty)$ .
Функція б) $y = - x^{2} - 5 x + 1$ . Тут $a = - 1 < 0$ , тому функція зростає до вершини і спадає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 5}{- 2} = - 2, 5$ . Область значень: $y_{ma x} = - (- 2, 5)^{2} - 5 (- 2, 5) + 1 = - 6, 25 + 12, 5 + 1 = 7, 25$ . Проміжки: зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ . Область значень $(- \infty; 7, 25]$ .
Функція в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ . Тут $a = \frac{1}{3} > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 4}{2/3} = 6$ . Область значень: $y_{min} = \frac{1}{3} (6)^{2} - 4 (6) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3$ . Проміжки: спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ . Область значень $[3; + \infty)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?