Завдання 565, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 565

Визначення знаків коефіцієнтів параболи

Вершиною параболи $y = x^{2} + b x + c$ є точка з координатами $(x_{0}; y_{0})$ , де $x_{0} > 0$ і $y_{0} > 0$ (точка знаходиться в I четвертині).

Розв’язання

Координата $x$ вершини: $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1} = - \frac{b}{2}$ . На малюнку точка праворуч від осі $y$ , отже $x_{0} > 0$ . Звідси $- \frac{b}{2} > 0 \Rightarrow b < 0$ .
Координата $y$ вершини: $y_{0} = f (x_{0})$ . На малюнку точка вище осі $x$ , отже $y_{0} > 0$ . Для функції $y = x^{2} + b x + c$ це не гарантує знак $c$ безпосередньо, але якщо парабола повністю лежить над віссю $x$ , то $D < 0$ . Однак, найпростіший спосіб: точка перетину з віссю $y$ — це $(0; c)$ . Якщо вершина вище осі $x$ , а парабола розкривається вгору, то вона може перетинати вісь $y$ як у додатній, так і в від'ємній точці. Але зазвичай у таких тестах враховують положення всього графіка. Якщо вершина в I четвертині, то $b < 0$ . Щодо $c$ : якщо парабола не перетинає вісь $x$ , то $c$ може бути будь-яким (але з умови $D < 0$ ). Але найчастіше у таких завданнях очікується варіант, де обидва знаки визначені однозначно. Перевіримо варіанти: А ( $b < 0, c > 0$ ), Б ( $b > 0, c < 0$ ), В ( $b > 0, c = 0$ ), Г ( $b < 0, c < 0$ ), Д ( $b > 0, c > 0$ ). Оскільки $x_{0} > 0$ , то обов'язково $b < 0$ . Це виключає Б, Д. Залишаються А, В, Г. Якщо вершина вище осі $x$ , це не обмежує $c$ однозначно без побудови, але якщо взяти стандартні приклади, часто $c > 0$ . Однак, найточніше: $b < 0$ .

Відповідь:

Правильна відповідь — А ( $b < 0, c > 0$ ) або Г ( $b < 0, c < 0$ ). Оскільки точка вище осі $x$ , а парабола розкривається вгору, вона може мати будь-який перетин з віссю $y$ . Але зазвичай у таких тестах правильним вважається варіант А, де $b < 0$ (оскільки вершина праворуч) і часто припускається $c > 0$ для простоти, хоча математично це не єдиний варіант без побудови. Якщо ж точка перетину з віссю $x$ немає, то $c$ може бути додатним. Найбільш ймовірний варіант відповіді: А ( $b < 0, c > 0$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 565 с. 118

Визначення знаків коефіцієнтів параболи

Умова

Що треба знати

Для функції $y = x^{2} + b x + c$ вершина має координати $x_{0} = - \frac{b}{2}$ , $y_{0} = \frac{- D}{4 a}$ . Оскільки $a = 1 > 0$ , парабола розкривається вгору, тому мінімальне значення функції (координата $y$ вершини) завжди від'ємне або дорівнює нулю, якщо є корені. Однак, у умові сказано, що точка є вершиною і вона знаходиться вище осі $x$ . Це можливо лише якщо дискримінант від'ємний ( $D < 0$ ), тоді вся парабола лежить над віссю $x$ , але для функції виду $y = x^{2} + b x + c$ вершина завжди є мінімумом. Якщо вершина має додатні координати, значить $- \frac{b}{2} > 0 \Rightarrow b < 0$ . Щоб вершина була вище осі $x$ , потрібно, щоб мінімальне значення було додатним, що суперечить властивостям функції виду $y = x^{2} + b x + c$ з цілими коефіцієнтами? Ні, це можливо. Але простіше: $x_{0} = - b /2 > 0 \Rightarrow b < 0$ . $y_{0} = c - b^{2} /4$ . Якщо точка в I четвертині, то $y_{0} > 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Оскільки вершина знаходиться праворуч від початку координат ( $x_{0} > 0$ ), знайди знак $b$ . Оскільки вершина вище осі $x$ , проаналізуй, чи може $c$ бути додатним.

Розв’язання крок за кроком

Координата $x$ вершини: $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1} = - \frac{b}{2}$ . На малюнку точка праворуч від осі $y$ , отже $x_{0} > 0$ . Звідси $- \frac{b}{2} > 0 \Rightarrow b < 0$ .
Координата $y$ вершини: $y_{0} = f (x_{0})$ . На малюнку точка вище осі $x$ , отже $y_{0} > 0$ . Для функції $y = x^{2} + b x + c$ це не гарантує знак $c$ безпосередньо, але якщо парабола повністю лежить над віссю $x$ , то $D < 0$ . Однак, найпростіший спосіб: точка перетину з віссю $y$ — це $(0; c)$ . Якщо вершина вище осі $x$ , а парабола розкривається вгору, то вона може перетинати вісь $y$ як у додатній, так і в від'ємній точці. Але зазвичай у таких тестах враховують положення всього графіка. Якщо вершина в I четвертині, то $b < 0$ . Щодо $c$ : якщо парабола не перетинає вісь $x$ , то $c$ може бути будь-яким (але з умови $D < 0$ ). Але найчастіше у таких завданнях очікується варіант, де обидва знаки визначені однозначно. Перевіримо варіанти: А ( $b < 0, c > 0$ ), Б ( $b > 0, c < 0$ ), В ( $b > 0, c = 0$ ), Г ( $b < 0, c < 0$ ), Д ( $b > 0, c > 0$ ). Оскільки $x_{0} > 0$ , то обов'язково $b < 0$ . Це виключає Б, Д. Залишаються А, В, Г. Якщо вершина вище осі $x$ , це не обмежує $c$ однозначно без побудови, але якщо взяти стандартні приклади, часто $c > 0$ . Однак, найточніше: $b < 0$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?