Завдання 559, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 559

Дослідження траєкторії м'яча

Висота м'яча описується формулою $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2, 5$ . Потрібно знайти: а) тип траєкторії; б) час падіння на землю; в) максимальну висоту.

Розв’язання

а) Оскільки коефіцієнт при $t^{2}$ від'ємний ( $a = - 5$ ), траєкторія м'яча — це частина параболи, розкритої вниз (м'яч летить вгору і падає вниз).
б) Знайдемо час падіння, розв'язавши рівняння $- 5 t^{2} + 20 t + 2, 5 = 0$ . Помножимо на $- 2$ , щоб позбутися десяткового дробу: $10 t^{2} - 40 t - 5 = 0$ , або скоротимо на $5$ : $2 t^{2} - 8 t - 1 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 64 + 8 = 72$ . Корені: $t = \frac{8 \pm 72}{4} = \frac{8 \pm 6 2}{4} = 2 \pm \frac{3 2}{2}$ . Оскільки час не може бути від'ємним, беремо додатний корінь: $t \approx 2 + 2, 12 = 4, 12$ с.
в) Знайдемо максимальну висоту (координата вершини). $t_{ma x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ . Підставимо $t = 2$ у функцію: $h (2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 2, 5 = - 20 + 40 + 2, 5 = 22, 5 м$ .

Відповідь:

а) Траєкторія — частина параболи; б) м'яч впаде на землю приблизно через $4, 12$ с (точніше $2 + 1, 52$ с); в) максимальна висота становить $22, 5 м$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 559 с. 117

Дослідження траєкторії м'яча

Умова

Що треба знати

Функція має вигляд $y = a t^{2} + b t + c$ з $a < 0$ , що означає параболу, розкриту вниз (траєкторія м'яча). М'яч падає на землю, коли висота $h (t) = 0$ . Максимальна висота досягається у вершині параболи.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для знаходження часу падіння розв'яжіть рівняння $- 5 t^{2} + 20 t + 2, 5 = 0$ . Для максимальної висоти знайдіть координати вершини параболи.

Розв’язання крок за кроком

а) Оскільки коефіцієнт при $t^{2}$ від'ємний ( $a = - 5$ ), траєкторія м'яча — це частина параболи, розкритої вниз (м'яч летить вгору і падає вниз).
б) Знайдемо час падіння, розв'язавши рівняння $- 5 t^{2} + 20 t + 2, 5 = 0$ . Помножимо на $- 2$ , щоб позбутися десяткового дробу: $10 t^{2} - 40 t - 5 = 0$ , або скоротимо на $5$ : $2 t^{2} - 8 t - 1 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 64 + 8 = 72$ . Корені: $t = \frac{8 \pm 72}{4} = \frac{8 \pm 6 2}{4} = 2 \pm \frac{3 2}{2}$ . Оскільки час не може бути від'ємним, беремо додатний корінь: $t \approx 2 + 2, 12 = 4, 12$ с.
в) Знайдемо максимальну висоту (координата вершини). $t_{ma x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ . Підставимо $t = 2$ у функцію: $h (2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 2, 5 = - 20 + 40 + 2, 5 = 22, 5 м$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?