Завдання 3, § 11. Квадратична функція Quadratic Function — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 3

Побудова графіка квадратичної функції

Побудувати графік функції $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ . Графіком є парабола з гілками, спрямованими вгору.

Розв’язання

Знаходимо координати вершини параболи: абсциса $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = 1$ . Підставляємо $x = 1$ у рівняння функції, щоб знайти ординату: $y_{v} = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 3 = 2 - 4 - 3 = - 5$ . Вершина має координати $(1; - 5)$ .
Знаходимо точку перетину з віссю $O y$ (поставляємо $x = 0$ ): $y = 2 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 - 3 = - 3$ . Точка має координати $(0; - 3)$ .
Знаходимо точки перетину з віссю $O x$ , розв'язуючи рівняння $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 16 + 24 = 40$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 40}{4} = \frac{4 \pm 2 10}{4} = 1 \pm \frac{10}{2}$ . Оскільки $10 \approx 3, 16$ , то $x_{1} \approx 1 + 1, 58 = 2, 58$ і $x_{2} \approx 1 - 1, 58 = - 0, 58$ .
Знаходимо симетричні точки відносно осі параболи $x = 1$ : якщо взяти точку з $x = - 1$ , то $y = 2 (- 1)^{2} - 4 (- 1) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3$ . Точка $(- 1; 3)$ , симетрична їй точка $(3; 3)$ .
Наносячи на координатну площину точки $(1; - 5)$ , $(0; - 3)$ , $(- 1; 3)$ , $(3; 3)$ та інші, сполучаємо їх плавною лінією у вигляді параболи.

Відповідь:

Графік — парабола з вершиною в точці $(1; - 5)$ , що проходить через точки $(0; - 3)$ , $(- 1; 3)$ та інші, симетричні відносно прямої $x = 1$ .

Розбір зрозумілий?

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function Завдання 3 с. 114

Побудова графіка квадратичної функції

Умова

Побудувати графік функції $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ . Графіком є парабола з гілками, спрямованими вгору.

Що треба знати

Для побудови параболи $y = a x^{2} + b x + c$ знаходять координати вершини ( $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ ; $y_{v} = f (x_{v})$ ), точки перетину з віссю $O y$ (точка $(0; c)$ ) та ще кілька контрольних точок, враховуючи симетрію відносно осі параболи.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайдіть координати вершини за формулою $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ , а потім обчисліть значення функції для кількох зручних значень $x$ (наприклад, $0$ , $- 1$ , $2$ ).

Розв’язання крок за кроком

Знаходимо координати вершини параболи: абсциса $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = 1$ . Підставляємо $x = 1$ у рівняння функції, щоб знайти ординату: $y_{v} = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 3 = 2 - 4 - 3 = - 5$ . Вершина має координати $(1; - 5)$ .
Знаходимо точку перетину з віссю $O y$ (поставляємо $x = 0$ ): $y = 2 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 - 3 = - 3$ . Точка має координати $(0; - 3)$ .
Знаходимо точки перетину з віссю $O x$ , розв'язуючи рівняння $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 16 + 24 = 40$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 40}{4} = \frac{4 \pm 2 10}{4} = 1 \pm \frac{10}{2}$ . Оскільки $10 \approx 3, 16$ , то $x_{1} \approx 1 + 1, 58 = 2, 58$ і $x_{2} \approx 1 - 1, 58 = - 0, 58$ .
Знаходимо симетричні точки відносно осі параболи $x = 1$ : якщо взяти точку з $x = - 1$ , то $y = 2 (- 1)^{2} - 4 (- 1) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3$ . Точка $(- 1; 3)$ , симетрична їй точка $(3; 3)$ .
Наносячи на координатну площину точки $(1; - 5)$ , $(0; - 3)$ , $(- 1; 3)$ , $(3; 3)$ та інші, сполучаємо їх плавною лінією у вигляді параболи.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?