Установити відповідність між функціями (1–3) та кількістю їхніх нулів (А–Д). 1) y=x2−4x+4 2) y=x−1x2−2x−3 3) y=x4+5x2+4
Розв’язання
Функція y=x2−4x+4. Знайдемо корені: (x−2)2=0⇒x1=2. Є один нуль (дотик до осі). Відповідність: 1 — А.
Функція y=x−1x2−2x−3. Область визначення: x=1. Спростимо чисельник: (x−3)(x+1). Нулі чисельника: x=3 та x=−1. Точка x=1 не є нулем, оскільки вона не входить до області визначення. Отже, два нулі. Відповідність: 2 — Б.
Функція y=x4+5x2+4. Позначимо t=x2 (t≥0). Рівняння t2+5t+4=0 має корені t1=−1,t2=−4. Оскільки t=x2 не може бути від'ємним, реальних коренів немає. Відповідність: 3 — Д.
Відповідь:
1 — А; 2 — Б; 3 — Д
Розбір зрозумілий?
§ 10. Перетворення графіків функційЗавдання 4 (с. 109)с. 109
Кількість нулів функцій
Умова
Установити відповідність між функціями (1–3) та кількістю їхніх нулів (А–Д). 1) y=x2−4x+4 2) y=x−1x2−2x−3 3) y=x4+5x2+4
Що треба знати
Нулі функції — це точки перетину її графіка з віссю Ox. Кількість нулів квадратного тричлена визначається знаком дискримінанта (D). Для раціональних та дробових функцій треба враховувати область визначення.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для першої функції знайди корені, розклавши вираз на множники. Для другої — спрости дріб і перевірь, чи не втратилися точки при множенні на знаменник. Для третьої розглянь знак виразу під парним степенем.
Розв’язання крок за кроком
Функція y=x2−4x+4. Знайдемо корені: (x−2)2=0⇒x1=2. Є один нуль (дотик до осі). Відповідність: 1 — А.
Функція y=x−1x2−2x−3. Область визначення: x=1. Спростимо чисельник: (x−3)(x+1). Нулі чисельника: x=3 та x=−1. Точка x=1 не є нулем, оскільки вона не входить до області визначення. Отже, два нулі. Відповідність: 2 — Б.
Функція y=x4+5x2+4. Позначимо t=x2 (t≥0). Рівняння t2+5t+4=0 має корені t1=−1,t2=−4. Оскільки t=x2 не може бути від'ємним, реальних коренів немає. Відповідність: 3 — Д.
