Сторінка 109

Розв’язання

1. Підставляємо $x=-1$ у рівняння функції: $y=-3(-1{)}^2-6(-1)+2$.

2. Обчислюємо степінь: $(-1{)}^2=1$, отже, $-3\cdot 1=-3$.

3. Помножуємо на коефіцієнт перед $x$: $-6\cdot (-1)=6$.

4. Додаємо всі доданки: $-3+6+2=5$.

Розв’язання

1. Підставляємо координати точки $(3;2)$ у рівняння: $2=\sqrt{3+m}$.

2. Щоб позбутися квадратного кореня, підносимо обидві частини рівності до квадрату: $2^2=(\sqrt{3+m}{)}^2$, що дає $4=3+m$.

3. Знаходимо $m$: віднімаємо 3 від обох частин, $m=4-3=1$.

Розв’язання

1. Функція А — квадратична ($x^2$), має вершину, тому не зростає всюди.

2. Функція В — квадратична ($-x^2$), також має вершину і не зростає всюди.

3. Функція Б — лінійна з коефіцієнтом $k=-0,3<0$, тому вона спадає.

4. Функція Г — лінійна з коефіцієнтом $k=0,7>0$, тому вона зростає на $R$.

Розв’язання

1. Функція $y=x^2-4x+4$. Знайдемо корені: $(x-2{)}^2=0\Rightarrow x_1=2$. Є один нуль (дотик до осі). Відповідність: 1 — А.

2. Функція $y=\frac{x^2-2x-3}{x-1}$. Область визначення: $x\ne 1$. Спростимо чисельник: $(x-3)(x+1)$. Нулі чисельника: $x=3$ та $x=-1$. Точка $x=1$ не є нулем, оскільки вона не входить до області визначення. Отже, два нулі. Відповідність: 2 — Б.

3. Функція $y=x^4+5x^2+4$. Позначимо $t=x^2$ ($t\ge 0$). Рівняння $t^2+5t+4=0$ має корені $t_1=-1,t_2=-4$. Оскільки $t=x^2$ не може бути від'ємним, реальних коренів немає. Відповідність: 3 — Д.

Розв’язання

1. Функція а) $y=\sqrt{2x-15}-\sqrt{10-x}$. Умови: $2x-15\ge 0\Rightarrow x\ge 7,5$ і $10-x\ge 0\Rightarrow x\le 10$. Перетин проміжків: $[7,5;10]$.

2. Функція б) $y=\sqrt{x+7}+\frac{5x}{x^2-9}$. Умови: $x+7\ge 0\Rightarrow x\ge -7$ і $x^2-9\ne 0\Rightarrow x\ne 3,x\ne -3$. Область визначення: $[-7;3)\cup (-3;3)\cup (3;+\infty )$.

Розв’язання

1. Знайдемо область визначення (ОДЗ): вираз під коренем має бути невід'ємним, тобто $x+4\ge 0$, звідки $x\ge -4$. Область визначення — проміжок $[-4;+\infty )$.

2. Побудуємо графік: беремо кілька точок для функції $y=\sqrt{x}$ (наприклад, $(0;0),(1;1),(4;2)$), зсуваємо їх на 4 одиниці вліво ($x-4$) та на 1 вниз ($y-1$). Отримуємо точки: $(-4;-1),(-3;0),(0;1)$.

3. Аналізуємо властивості з графіка: нуль функції знаходимо там, де графік перетинає вісь абсцис ($y=0$). Знайдемо $x$: $\sqrt{x+4}-1=0\Rightarrow \sqrt{x+4}=1\Rightarrow x+4=1\Rightarrow x=-3$. Нуль: $-3$. Функція зростає на всій області визначення, тому немає проміжків спаду. Оскільки функція зростає і не обмежена зверху, найбільшого значення немає. Найменше значення досягається в початковій точці $x=-4$, воно дорівнює $-1$.

Розв’язання

1. Коефіцієнт при $x$ у функції $y=(16-3a)x+2$ дорівнює $(16-3a)$.

2. Для зростання функції необхідно, щоб цей коефіцієнт був додатним: $16-3a>0$.

3. Розв'яжемо нерівність відносно $a$: $16>3a\Rightarrow a<\frac{16}{3}$. Оскільки $\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$, то $a$ має бути меншим за $5,\mathrm{33...}$.

4. Шукаємо найбільше ціле число, яке менше за $5,\mathrm{33...}$. Це число 5. Перевіримо: якщо $a=5$, то $16-15=1>0$, умова виконується. Якщо взяти наступне ціле число 6, то $16-18=-2<0$, функція спадатиме.

Розв’язання

1. Перепишемо рівняння як систему або просто розглянемо дві функції: $y_1=x^2$ та $y_2=2-\sqrt{x}$.

2. Побудуємо графік $y=x^2$ (парабола, що відкривається вгору, вершина в початку координат).

3. Побудуємо графік $y=2-\sqrt{x}$. Це графік функції $y=-\sqrt{x}$, зсунутий на 2 одиниці вгору. Область визначення цієї функції — $x\ge 0$. Початкова точка $(0;2)$.

4. Знайдемо точки перетину графіків візуально або перевіримо цілі числа. Спробуємо малі значення $x$: при $x=1$, $y_1=1$, $y_2=2-1=1$. Графіки перетинаються в точці $(1;1)$. При $x=4$, $y_1=16$, $y_2=0$, графіки вже не перетинаються.