ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 108

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 108)–10 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 1 (с. 108)

Область визначення функцій

Знайти, для якої з наведених функцій область визначення дорівнює $R$ (всі дійсні числа). Варіанти: А) $y = - x + 1$ ; Б) $y = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ ; В) $y = \frac{3 x}{x ^{2} + 1}$ ; Г) $y = \frac{x}{x ^{2} - 1}$ .

Розв’язання

Функція А містить корінь $x + 1$ . Щоб він існував, має виконуватися $x + 1 \geq 0$ , тобто $x \geq - 1$ . Область визначення не дорівнює $R$ .
Функція Б — це дріб зі знаменником $x^{2} - 1$ . Знаменник не може дорівнювати нулю, тому $x^{2} - 1 \neq = 0$ , звідки $x \neq = 1$ і $x \neq = - 1$ . Область визначення не є $R$ .
Функція Г містить корінь $x$ (вимагає $x \geq 0$ ) та знаменник $x^{2} - 1$ (не може бути нулем). Область визначення обмежена знизу і має «дірки». Не є $R$ .
Функція В — дріб зі знаменником $x^{2} + 1$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $x^{2} \geq 0$ , отже $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Знаменник ніколи не дорівнює нулю. Кореня немає, обмежень на $x$ немає. Область визначення — $R$ .

Відповідь:

Завдання 2 (с. 108)

Проміжок додатних значень лінійної функції

Знайти проміжок, на якому функція $y = 4 x - 2$ приймає додатні значення ( $y > 0$ ). Варіанти: А $(2; + \infty)$ ; Б $(0, 5; + \infty)$ ; В $(- \infty; 0, 5)$ ; Г $(- \infty; 2)$ .

Розв’язання

Знайдемо нуль функції, прирівнявши вираз до нуля: $4 x - 2 = 0 \Rightarrow 4 x = 2 \Rightarrow x = 0, 5$ . Точка перетину з віссю $x$ має координати $(0, 5; 0)$ .
Перевіримо знак функції при значенні $x > 0, 5$ . Наприклад, якщо $x = 1$ , то $y = 4 \cdot 1 - 2 = 2 > 0$ . Отже, функція додатна на проміжку $(0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

Завдання 3 (с. 108)

Визначення спадаючої функції

Обрати функцію, яка спадає на всій множині дійсних чисел $R$ . Варіанти: А $y = 2 x + 3$ ; Б $y = 3 - 2 x$ ; В $y = - x$ ; Г $y = - x^{2}$ .

Розв’язання

Функція А: $y = 2 x + 3$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $2 > 0$ , функція зростає.
Функція В: $y = - x$ . Корінь визначений лише для $x \geq 0$ , тому область визначення не є $R$ .
Функція Г: $y = - x^{2}$ . Це парабола, яка спочатку зростає, а потім спадає (має максимум), тому не спадає на всій $R$ .
Функція Б: $y = 3 - 2 x$ або $y = - 2 x + 3$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $- 2 < 0$ , функція спадає на всій множині визначення ( $R$ ).

Відповідь:

Завдання 4

Точка перетину з віссю ординат

Знайти точку, в якій графік функції $y = x^{2} - 6 x + 8$ перетинає вісь ординат. Варіанти відповідей: А (2; 0), Б (4; 0), В (0; 8), Г (0; 2).

Розв’язання

Підставимо $x = 0$ у рівняння $y = x^{2} - 6 x + 8$ : $y = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 8$ .
Обчислимо значення: $y = 0 - 0 + 8$ , отже $y = 8$ .
Координати точки перетину з віссю ординат: $(0; 8)$ .

Відповідь:

В (0; 8)

Завдання 5

Перенесення графіка функції

Графік функції $y = \frac{2}{x}$ перенесли паралельно вздовж осі $y$ на 3 одиниці вниз. Знайти рівняння нової функції. Варіанти: А $y = \frac{2}{x + 3}$ , Б $y = \frac{2}{x} + 3$ , В $y = \frac{2}{x - 3}$ , Г $y = \frac{2}{x} - 3$ .

Розв’язання

Початкова функція: $f (x) = \frac{2}{x}$ .
Перенесення на 3 одиниці вниз означає віднімання 3 від значення функції: $y = \frac{2}{x} - 3$ .

Відповідь:

Г $y = \frac{2}{x} - 3$

Завдання 6

Кількість нулів функції

Знайти кількість нулів функції $y = (x - 3) (x + 2) x + 1$ . Варіанти відповідей: А один, Б два, В три, Г жодного.

Розв’язання

Перший множник $(x - 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 3$ . Перевірка: $3 + 1 = 4$ — має сенс.
Другий множник $(x + 2) = 0 \Rightarrow x_{2} = - 2$ . Перевірка: $- 2 + 1 = - 1$ — не має сенсу в дійсних числах, тому $x = - 2$ не є нулем функції.
Третій множник $x + 1 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = - 1$ . Перевірка: корінь з нуля дорівнює нулю, тому $x = - 1$ є нулем.
Отже, нулями функції є $x = 3$ та $x = - 1$ . Кількість нулів — два.

Відповідь:

Б два

Завдання 7

Обчислення значення функції

Для функції $y = 2 + x + x^{2}$ знайти значення $f (- 2) + f (2)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 2)$ : підставимо $x = - 2$ у вираз функції. Отримаємо $f (- 2) = 2 + (- 2) + (- 2)^{2} = 0 + 4 = 0 + 4 = 4$ .
Знайдемо $f (2)$ : підставимо $x = 2$ у вираз функції. Отримаємо $f (2) = 2 + 2 + 2^{2} = 4 + 4 = 2 + 4 = 6$ .
Знайдемо суму: $f (- 2) + f (2) = 4 + 6 = 10$ .

Відповідь:

Г (10)

Завдання 8

Область визначення функції з коренем і дробом

Знайти область визначення функції $y = \frac{x + 2}{x}$ .

Розв’язання

Запишемо умову для кореня: $x + 2 \geq 0$ , звідки $x \geq - 2$ . Це дає проміжок $[- 2; + \infty)$ .
Запишемо умову для знаменника: $x \neq = 0$ .
Об'єднаємо умови: $x$ має бути від $- 2$ і більше, але не дорівнювати нулю. Це записується як об'єднання двох проміжків: $[- 2; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Відповідь:

Завдання 9

Область значень функції з коренем

Визначити область значень функції $y = x - 2$ .

Розв’язання

Знаємо, що $x \geq 0$ для всіх допустимих $x$ .
Віднімемо 2 від обох частин нерівності: $x - 2 \geq 0 - 2$ , отже $y \geq - 2$ .
Областю значень є проміжок, що починається з $- 2$ і йде до плюс нескінченності (дужка квадратна, бо значення $- 2$ досягається при $x = 0$ ). Це записується як $[- 2; + \infty)$ .

Відповідь:

Завдання 10

Знаходження параметра

b

При яких значеннях $b$ графік функції $y = b x + 3$ проходить через точку $A (2; - 5)$ ?

Розв’язання

Підставимо координати точки $A (2; - 5)$ у рівняння функції: $- 5 = b \cdot 2 + 3$ .
Спростимо рівняння: $- 5 = 2 b + 3$ . Віднімемо від обох частин число $3$ : $- 5 - 3 = 2 b$ , отже, $- 8 = 2 b$ .
Поділимо обидві частини на $2$ : $b = \frac{- 8}{2}$ , тобто $b = - 4$ .

Відповідь: