Завдання 520, § 10. Перетворення графіків функцій

Розв’язання крок за кроком

1. Перепишемо рівняння як $3-x^2-a=|x|$. Це означає знайти точки перетину параболи $y=3-x^2-a$ та графіка $y=|x|$.

2. Розглянемо випадок дотику в точці $(0;0)$ для графіка $y=|x|$ (тобто коли $a=3$). Підставимо $x=0$ у рівняння: $3-0=0+a\Rightarrow a=3$. Перевіримо похідні або наближення: парабола $y=3-x^2$ має дотичну в точці $(0;3)$ з кутовим коефіцієнтом 0, а графік $|x|$ різкий. Тут дотику немає, але є перетин.

3. Розглянемо випадок, коли парабола проходить через вершину модуля $(0;0)$. Тоді $3-0=0+a\Rightarrow a=3$. Але при $a=3$ рівняння $3-x^2=|x|$ має два додатні корені (симетричні).

4. Правильний підхід: графік $y=|x|+a$ — це графік $y=|x|$, зсунутий на $a$ вниз. Парабола $y=3-x^2$ має вершину $(0;3)$.
   Якщо ми хочемо один корінь, тобто дотик або перетин в одній точці (на межі областей).
   Розглянемо рівняння без модуля для $x\ge 0$: $3-x^2=x+a\Rightarrow x^2+x+(a-3)=0$. Дискримінант $D_1=1-4(a-3)=13-4a$.
   Для $x<0$: $3-x^2=-x+a\Rightarrow x^2-x+(a-3)=0$. Дискримінант $D_2=1-4(a-3)=13-4a$.
   Оскільки симетрія, корені будуть симетричні. Щоб був один корінь, він має бути в точці $x=0$ (але тоді $3=a$, і це два корені? Ні, при $x=0$ рівняння виконується).
   Перевіримо випадок, коли парабола дотикається до гілки модуля. Це можливо, якщо вершина параболи збігається з точкою дотику.
   Насправді, один корінь виникає, коли рівняння має єдиний розв'язок. Це стається, коли $a=3$ (тоді $x=0$ є коренем, але чи є інші? При $a=3$: $3-x^2=|x|$. Якщо $x>0$, $x^2+x-3=0\Rightarrow x=(-1+\sqrt{13})/2>0$. Отже, є додатний корінь. Якщо $x<0$, $x^2-x-3=0\Rightarrow x=(1-\sqrt{13})/2<0$. Отже, є два корені).
   Отже, один корінь неможливий для цього рівняння? Перевіримо ще раз умову. Можливо, я неправильно зрозумів графік.
   Графік $y=3-x^2$ і $y=|x|+a$. Якщо $a$ дуже велике від'ємне число, парабола високо, модуль низько — перетинів два. Якщо $a$ збільшується (піднімаємо модуль), перетини зникають.
   Критичний момент: коли графік $y=|x|+a$ дотикається до параболи. Але парабола опукла вниз, а модуль — опуклий вгору. Вони можуть мати лише два перетини або нуль, якщо не враховувати вершину.
   Єдиний випадок одного кореня: коли один з коренів знаходиться на межі області визначення модуля (тобто $x=0$). При $x=0$, $3=a$. Але ми бачили, що при $a=3$ є ще два корені.
   Можливо, я помилився в аналізі. Давайте переведемо до системи: $y=3-x^2$ і $y=|x|+a$. Один корінь означає одну точку перетину. Це можливо лише якщо парабола дотикається до гілки модуля. Але парабола симетрична, а модуль теж. Тому точки перетину будуть симетричні щодо осі $y$. Якщо є одна точка, вона має бути на осі $y$ ($x=0$). При $x=0$, $3=a$. Але ми знайшли, що при $a=3$ є ще два корені.
   Отже, рівняння не може мати один корінь? Перевіримо ще раз умову завдання 520: «За якого значення параметра а рівняння $3-x^2=|x|+a$ має один корінь».
   Можливо, я неправильно прочитав знак. У підручнику часто буває $3-x^2=|x|+a$.
   Давайте розглянемо графічно: парабола $y=3-x^2$ і «V» з вершиною в $(0;-a)$. Якщо м