Завдання 519, § 10. Перетворення графіків функцій — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 519

Кількість коренів рівняння з параметром

Скільки коренів має рівняння $∣2 - x^{2} ∣ = a$ залежно від значень параметра $a$ .

Розв’язання

Знайдемо нулі внутрішньої функції: $2 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . У точках $x = \pm 2$ значення модуля дорівнює нулю.
Розглянемо критичні значення параметра $a$ :
- Якщо $a < 0$ , пряма $y = a$ не перетинає графік (оскільки модуль завжди $\geq 0$ ). Коренів: 0.
- Якщо $a = 0$ , пряма дотикається до графіка в двох точках $(\pm 2; 0)$ . Коренів: 2.
- Якщо $0 < a < 2$ , пряма перетинає «середню» частину графіка (де $y = - (2 - x^{2})$ ) у чотирьох точках. Коренів: 4.
- Якщо $a = 2$ , пряма перетинає верхні гілки параболи в двох точках. Коренів: 2.
- Якщо $a > 2$ , пряма перетинає лише верхні гілки параболи у двох точках. Коренів: 2.

Відповідь:

При $a < 0$ — 0 коренів; при $a = 0$ та $a \geq 2$ — 2 корені; при $0 < a < 2$ — 4 корені.

Розбір зрозумілий?

§ 10. Перетворення графіків функцій Завдання 519 с. 105

Кількість коренів рівняння з параметром

Умова

Скільки коренів має рівняння $∣2 - x^{2} ∣ = a$ залежно від значень параметра $a$ .

Що треба знати

Графік функції $y = ∣2 - x^{2} ∣$ утворюється взяттям графіка параболи $y = 2 - x^{2}$ , відображенням його нижньої частини (де $y < 0$ ) симетрично до осі абсцис. Отриманий графік має форму «двох гілок», що сходяться у точках мінімуму, і розширюються вгору.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Побудуйте графік функції $y = ∣2 - x^{2} ∣$ та проведіть горизонтальну пряму $y = a$ . Кількість перетинів цих ліній покаже кількість коренів.

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо нулі внутрішньої функції: $2 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . У точках $x = \pm 2$ значення модуля дорівнює нулю.
Розглянемо критичні значення параметра $a$ :
- Якщо $a < 0$ , пряма $y = a$ не перетинає графік (оскільки модуль завжди $\geq 0$ ). Коренів: 0.
- Якщо $a = 0$ , пряма дотикається до графіка в двох точках $(\pm 2; 0)$ . Коренів: 2.
- Якщо $0 < a < 2$ , пряма перетинає «середню» частину графіка (де $y = - (2 - x^{2})$ ) у чотирьох точках. Коренів: 4.
- Якщо $a = 2$ , пряма перетинає верхні гілки параболи в двох точках. Коренів: 2.
- Якщо $a > 2$ , пряма перетинає лише верхні гілки параболи у двох точках. Коренів: 2.

Відповідь:

При $a < 0$ — 0 коренів; при $a = 0$ та $a \geq 2$ — 2 корені; при $0 < a < 2$ — 4 корені.

Розбір зрозумілий?