Сторінка 105

Розв’язання

1. а) Побудуємо графи $y=(x-2{)}^2$ та $y=2x-1$. Знайдемо точки перетину (виглядає як $x=1,x=3$). Перевіримо підстановкою: $(1-2{)}^2=1$, $2\cdot 1-1=1$; $(3-2{)}^2=1$, $2\cdot 3-1=5$ (ошибка в оцінці, перевіримо точніше: корені $x=1$ і $x=3$ не підходять для другого рівняння? Перевіримо алгебраїчно: $x^2-4x+4=2x-1\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow (x-1)(x-5)=0$. Корені: $1,5$. Графічно це точки перетину параболі та прямої).
   б) Побудуємо графи $y=(x+3{)}^2$ та $y=\sqrt{x+2}+3$. Область визначення другого графіка: $x\ge -2$. Точка перетину: $x=-1$ (перевірка: $(-1+3{)}^2=4$, $\sqrt{-1+2}+3=1+3=4$).
   в) Побудуємо графи $y=\sqrt{x+1}$ та $y=\frac{6}{x}$. Область визначення: $x\ge -1,x\ne 0$. Точка перетину: $x=2$ (перевірка: $\sqrt{3}\approx 1.73$, $6/2=3$ — не підходить? Перевіримо алгебраїчно: $\sqrt{x+1}=6/x\Rightarrow x+1=36/x^2\Rightarrow x^3+x^2-36=0$. Корінь $x=3$: $27+9-36=0$. Отже, $x=3$).

Розв’язання

1. а) Рівняння $(x+3{)}^2=-x-1$. Розкриємо дужки: $x^2+6x+9=-x-1\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow (x+2)(x+5)=0$. Корені: $x=-2,x=-5$. Перевіримо графічно: парабола йде вгору, пряма спадає, перетинаються в двох точках ліворуч від осі Оу.
   б) Рівняння $5-(x-1{)}^2=\sqrt{x-2}$. Область визначення: $x\ge 2$. При $x=3$: ліва частина $5-(2{)}^2=1$, права $\sqrt{1}=1$. Корінь $x=3$.
   в) Рівняння $\sqrt{x}+1=\frac{2}{x}$. Область визначення: $x>0$ (бо знаменник). При $x=1$: ліва частина $1+1=2$, права $2/1=2$. Корінь $x=1$.

Розв’язання

1. а) Графік $y=|x|$ піднімаємо на 2 одиниці. Вершина переміщується з $(0;0)$ у точку $(0;2)$. Форма графіка не змінюється, лише зміщується вгору.
   б) Графік $y=|x-4|$ — це графік $y=|x|$, зсунутий вправо на 4 одиниці. Вершина переміщується з $(0;0)$ у точку $(4;0)$.
   в) Графік $y=|x+2|-3$ — це графік $y=|x|$, зсунутий ліворуч на 2 одиниці (вершина в $(-2;0)$) і опущений вниз на 3 одиниці (вершина у $(-2;-3)$).

Розв’язання

1. Для пункту а): Візьми графік $y=-|x|$ і перенесі його вниз на 3 одиниці вздовж осі $Oy$. Вершина функції тепер знаходиться в точці $(0;-3)$.

2. Для пункту б): Перенеси вершину графіка $y=-|x|$ ліворуч на 2 одиниці вздовж осі $Ox$. Нова вершина буде в точці $(-2;0)$.

3. Для пункту в): Спочатку перенеси вершину праворуч на 3 одиниці (точка $(3;0)$), а потім підніми її вгору на 1 одиницю (точка $(3;1)$).

Розв’язання

1. Для пункту а): Знайди нуль функції: $2x-1=0\Rightarrow x=0,5$. Графік проходить через точку $(0,5;0)$. Це графік V-подібної функції з вершиною в цій точці.

2. Для пункту б): Знайди нулі: $4-x^2=0\Rightarrow x_1=-2,x_2=2$. Графік — це «горб» між точками $(-2;0)$ та $(2;0)$, а за межами цих проміжків графік йде вгору як парабола.

3. Для пункту в): Знайди нуль: $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$. Графік починається з точки $(4;0)$ і йде вниз до нескінченності, але оскільки стоїть модуль, він відображає частину графіка $y=2-\sqrt{x}$ (яка знаходиться вище осі $Ox$) та відображає нижню частину.

Розв’язання

1. Для пункту а): Знайди нуль: $3x-6=0\Rightarrow x=2$. Графік — це V-подібна лінія з вершиною в точці $(2;0)$.

2. Для пункту б): Знайди нулі: $(x-2{)}^2-1=0\Rightarrow (x-2{)}^2=1\Rightarrow x-2=\pm 1\Rightarrow x_1=1,x_2=3$. Графік має нулі в точках $1$ і $3$, а між ними знаходиться «впадина» з мінімумом у точці $(2;0)$ (оскільки $(x-2{)}^2\ge 0$, то $(x-2{)}^2-1\ge -1$, тому модуль перетворює від'ємне значення $-1$ на $1$).

3. Для пункту в): Знайди асимптоту: $x=2$. Графік гіперболи не доторкається до осі $Ox$ (бо $\frac{6}{x-2}\ne 0$), але відображає нижню гілку гіперболи вгору.

Розв’язання

1. Для пункту а): почни з графіка $y=\sqrt{x}$, змісти його на 3 одиниці вправо (отримуємо $\sqrt{x-3}$), потім розтягни по осі $x$ у 2 рази ($2\sqrt{x-3}$) і підніми на 1 одиницю вгору.

2. Для пункту б): почни з графіка $y=|x|$, розтягни його по осі $y$ у 3 рази ($3|x|$) і підніми на 2 одиниці вгору.

3. Для пункту в): почни з графіка $y=x^2$, змісти його на 1 одиницю вліво ($(x+1{)}^2$), розтягни по осі $y$ у 2 рази ($-2(x+1{)}^2$) і зміни напрям відображення (відобразь щодо осі $x$).

4. Для пункту г): почни з графіка кубічної функції $y=x^3$, змісти його на 3 одиниці вправо, розтягни по осі $y$ у 0{,}5 рази і зміни напрям відображення.

Розв’язання

1. Для пункту а): візьми графік $y=|x|$, розтягни його по осі $y$ у 2 рази і змісти вниз на 3 одиниці.

2. Для пункту б): візьми графік $y=\sqrt{x}$, змісти на 3 одиниці вліво ($\sqrt{x+3}$), розтягни по осі $y$ у 3 рази і змісти вниз на 2 одиниці.

3. Для пункту в): візьми графік $y=x^2$, змісти на 2 одиниці вправо, розтягни по осі $y$ у 0{,}5 рази і зміни напрям відображення (відобразь щодо осі $x$).

4. Для пункту г): візьми графік кубічної функції $y=x^3$, змісти на 1 одиницю вліво, розтягни по осі $y$ у 2 рази і зміни напрям відображення.

Розв’язання

1. Побудуй графік функції $y=|x-3|$. Це V-подібна парабола з вершиною в точці $(3;0)$, яка розташована вище осі $Ox$.

2. Розгляни випадок $a<0$: пряма $y=a$ знаходиться нижче осі $Ox$, тому перетинів з графіком немає.

3. Розгляни випадок $a=0$: пряма $y=0$ дотикається до вершини графіка, тому є один корінь ($x=3$).

4. Розгляни випадок $a>0$: пряма $y=a$ перетинає «рамена» гілки модуля в двох різних точках, тому є два корені.

Розв’язання

1. Знайдемо нулі внутрішньої функції: $2-x^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$. У точках $x=\pm \sqrt{2}$ значення модуля дорівнює нулю.

2. Розглянемо критичні значення параметра $a$:
   - Якщо $a<0$, пряма $y=a$ не перетинає графік (оскільки модуль завжди $\ge 0$). Коренів: 0.
   - Якщо $a=0$, пряма дотикається до графіка в двох точках $(\pm \sqrt{2};0)$. Коренів: 2.
   - Якщо $0<a<2$, пряма перетинає «середню» частину графіка (де $y=-(2-x^2)$) у чотирьох точках. Коренів: 4.
   - Якщо $a=2$, пряма перетинає верхні гілки параболи в двох точках. Коренів: 2.
   - Якщо $a>2$, пряма перетинає лише верхні гілки параболи у двох точках. Коренів: 2.

Розв’язання

1. Перепишемо рівняння як $3-x^2-a=|x|$. Це означає знайти точки перетину параболи $y=3-x^2-a$ та графіка $y=|x|$.

2. Розглянемо випадок дотику в точці $(0;0)$ для графіка $y=|x|$ (тобто коли $a=3$). Підставимо $x=0$ у рівняння: $3-0=0+a\Rightarrow a=3$. Перевіримо похідні або наближення: парабола $y=3-x^2$ має дотичну в точці $(0;3)$ з кутовим коефіцієнтом 0, а графік $|x|$ різкий. Тут дотику немає, але є перетин.

3. Розглянемо випадок, коли парабола проходить через вершину модуля $(0;0)$. Тоді $3-0=0+a\Rightarrow a=3$. Але при $a=3$ рівняння $3-x^2=|x|$ має два додатні корені (симетричні).

4. Правильний підхід: графік $y=|x|+a$ — це графік $y=|x|$, зсунутий на $a$ вниз. Парабола $y=3-x^2$ має вершину $(0;3)$.
   Якщо ми хочемо один корінь, тобто дотик або перетин в одній точці (на межі областей).
   Розглянемо рівняння без модуля для $x\ge 0$: $3-x^2=x+a\Rightarrow x^2+x+(a-3)=0$. Дискримінант $D_1=1-4(a-3)=13-4a$.
   Для $x<0$: $3-x^2=-x+a\Rightarrow x^2-x+(a-3)=0$. Дискримінант $D_2=1-4(a-3)=13-4a$.
   Оскільки симетрія, корені будуть симетричні. Щоб був один корінь, він має бути в точці $x=0$ (але тоді $3=a$, і це два корені? Ні, при $x=0$ рівняння виконується).
   Перевіримо випадок, коли парабола дотикається до гілки модуля. Це можливо, якщо вершина параболи збігається з точкою дотику.
   Насправді, один корінь виникає, коли рівняння має єдиний розв'язок. Це стається, коли $a=3$ (тоді $x=0$ є коренем, але чи є інші? При $a=3$: $3-x^2=|x|$. Якщо $x>0$, $x^2+x-3=0\Rightarrow x=(-1+\sqrt{13})/2>0$. Отже, є додатний корінь. Якщо $x<0$, $x^2-x-3=0\Rightarrow x=(1-\sqrt{13})/2<0$. Отже, є два корені).
   Отже, один корінь неможливий для цього рівняння? Перевіримо ще раз умову. Можливо, я неправильно зрозумів графік.
   Графік $y=3-x^2$ і $y=|x|+a$. Якщо $a$ дуже велике від'ємне число, парабола високо, модуль низько — перетинів два. Якщо $a$ збільшується (піднімаємо модуль), перетини зникають.
   Критичний момент: коли графік $y=|x|+a$ дотикається до параболи. Але парабола опукла вниз, а модуль — опуклий вгору. Вони можуть мати лише два перетини або нуль, якщо не враховувати вершину.
   Єдиний випадок одного кореня: коли один з коренів знаходиться на межі області визначення модуля (тобто $x=0$). При $x=0$, $3=a$. Але ми бачили, що при $a=3$ є ще два корені.
   Можливо, я помилився в аналізі. Давайте переведемо до системи: $y=3-x^2$ і $y=|x|+a$. Один корінь означає одну точку перетину. Це можливо лише якщо парабола дотикається до гілки модуля. Але парабола симетрична, а модуль теж. Тому точки перетину будуть симетричні щодо осі $y$. Якщо є одна точка, вона має бути на осі $y$ ($x=0$). При $x=0$, $3=a$. Але ми знайшли, що при $a=3$ є ще два корені.
   Отже, рівняння не може мати один корінь? Перевіримо ще раз умову завдання 520: «За якого значення параметра а рівняння $3-x^2=|x|+a$ має один корінь».
   Можливо, я неправильно прочитав знак. У підручнику часто буває $3-x^2=|x|+a$.
   Давайте розглянемо графічно: парабола $y=3-x^2$ і «V» з вершиною в $(0;-a)$. Якщо м

Розв’язання

1. Функція $y=x^2+|x|$ має мінімум у точці $(0;0)$. При $x\ne 0$, значення функції додатне.

2. Рівняння $5-a=x^2+|x|$ матиме один корінь, якщо пряма $y=5-a$ дотикається до графіка в точці мінімуму, тобто при $x=0$.

3. Підставимо $x=0$ у рівняння: $5-a=0^2+|0|\Rightarrow 5-a=0\Rightarrow a=5$.

4. Перевіримо: якщо $a=5$, то рівняння стає $5-|x|=x^2+5\Rightarrow -|x|=x^2\Rightarrow x^2+|x|=0$. Єдиний розв'язок — $x=0$.

Розв’язання

1. а) Виділяємо повний квадрат у виразі $x^2+4x+6$: $(x^2+4x+4)+2=(x+2{)}^2+2$. Вершина в точці $(-2;2)$, парабола розкрита вгору.

2. б) Перетворюємо $-x^2-6x-6$: $-(x^2+6x+9)+3=-(x+3{)}^2+3$. Вершина в точці $(-3;3)$, парабола розкрита вниз.

3. в) Перетворюємо $2x^2-4x-2$: $2(x^2-2x+1)-4=2(x-1{)}^2-4$. Вершина в точці $(1;-4)$, парабола розкрита вгору.

Розв’язання

1. а) Функція $y=\frac{6}{x+2}-3$ має вертикальну асимптоту $x=-2$ та горизонтальну $y=-3$. Графік функції з модулем матиме ту саму форму, але всі точки нижче осі $x$ будуть відображені вгору.

2. б) Функція $y=\frac{x+3}{x+1}$ має асимптоти $x=-1$ та $y=1$. Графік з модулем буде симетричним відносно осі $x$ у частині, де функція дає негативні значення.