ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 104

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 502–509 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 502

Побудова графіків функцій на основі

y = x

Використовуючи графік функції $y = x$ , побудувати графіки функцій: а) $y = x + 2 + 1$ ; б) $y = x - 3 + 4$ ; в) $y = x + 4 - 3$ .

Розв’язання

Початкова функція $y = x$ має початок у точці $(0; 0)$ .
Для підпункту а) ( $y = x + 2 + 1$ ): графік зсувається на 2 одиниці вліво (через $+ 2$ ) і на 1 одиницю вгору (через $+ 1$ ). Нова початкова точка: $(- 2; 1)$ .
Для підпункту б) ( $y = x - 3 + 4$ ): графік зсувається на 3 одиниці вправо (через $- 3$ ) і на 4 одиниці вгору (через $+ 4$ ). Нова початкова точка: $(3; 4)$ .
Для підпункту в) ( $y = x + 4 - 3$ ): графік зсувається на 4 одиниці вліво (через $+ 4$ ) і на 3 одиниці вниз (через $- 3$ ). Нова початкова точка: $(- 4; - 3)$ .

Відповідь:

а) $y = x + 2 + 1$ — графік зсув $(- 2; 1)$ ; б) $y = x - 3 + 4$ — графік зсув $(3; 4)$ ; в) $y = x + 4 - 3$ — графік зсув $(- 4; - 3)$ .

Завдання 503

Побудова графіків функцій на основі

y = - x

Using the graph of the function $y = - x$ , plot the graphs of the functions: а) $y = - x - 1 + 2$ ; б) $y = - x + 4 - 2$ ; в) $y = - x + 3 + 3$ .

Розв’язання

Базова функція $y = - x$ має початок у точці $(0; 0)$ .
Для підпункту а) ( $y = - x - 1 + 2$ ): графік зсувається на 1 одиницю вправо (через $- 1$ ) і на 2 одиниці вгору (через $+ 2$ ). Нова початкова точка: $(1; 2)$ .
Для підпункту б) ( $y = - x + 4 - 2$ ): графік зсувається на 4 одиниці вліво (через $+ 4$ ) і на 2 одиниці вниз (через $- 2$ ). Нова початкова точка: $(- 4; - 2)$ .
Для підпункту в) ( $y = - x + 3 + 3$ ): графік зсувається на 3 одиниці вліво (через $+ 3$ ) і на 3 одиниці вгору (через $+ 3$ ). Нова початкова точка: $(- 3; 3)$ .

Відповідь:

а) $y = - x - 1 + 2$ — графік зсув $(1; 2)$ ; б) $y = - x + 4 - 2$ — графік зсув $(- 4; - 2)$ ; в) $y = - x + 3 + 3$ — графік зсув $(- 3; 3)$ .

Завдання 504

Побудова графіків гіперболи

y = 4/ x

Використовуючи графік функції $y = \frac{4}{x}$ , побудувати графіки функцій: а) $y = \frac{4}{x + 2} - 3$ ; б) $y = \frac{4}{x - 3} + 4$ ; в) $y = \frac{4}{x + 1} + 3$ .

Розв’язання

Базова функція $y = \frac{4}{x}$ має центр у точці $(0; 0)$ .
Для підпункту а) ( $y = \frac{4}{x + 2} - 3$ ): графік зсувається на 2 одиниці вліво (через $+ 2$ ) і на 3 одиниці вниз (через $- 3$ ). Нова центральна точка: $(- 2; - 3)$ .
Для підпункту б) ( $y = \frac{4}{x - 3} + 4$ ): графік зсувається на 3 одиниці вправо (через $- 3$ ) і на 4 одиниці вгору (через $+ 4$ ). Нова центральна точка: $(3; 4)$ .
Для підпункту в) ( $y = \frac{4}{x + 1} + 3$ ): графік зсувається на 1 одиницю вліво (через $+ 1$ ) і на 3 одиниці вгору (через $+ 3$ ). Нова центральна точка: $(- 1; 3)$ .

Відповідь:

а) $y = \frac{4}{x + 2} - 3$ — графік зсув $(- 2; - 3)$ ; б) $y = \frac{4}{x - 3} + 4$ — графік зсув $(3; 4)$ ; в) $y = \frac{4}{x + 1} + 3$ — графік зсув $(- 1; 3)$ .

Завдання 505

Побудова графіків функцій з гіперболи

Використовуючи графік функції $y = - \frac{6}{x}$ , побудуй графіки функцій: а) $y = - \frac{6}{x + 3} + 2$ ; б) $y = - \frac{6}{x - 4} - 3$ ; в) $y = - \frac{6}{x - 3} + 1$ .

Розв’язання

а) Графік $y = - \frac{6}{x}$ переносимо на 3 одиниці ліворуч (через $+ 3$ у знаменнику) і на 2 одиниці вгору (через $+ 2$ ). Отримуємо $y = - \frac{6}{x + 3} + 2$ .
б) Графік переносимо на 4 одиниці праворуч (через $- 4$ у знаменнику) і на 3 одиниці вниз (через $- 3$ ). Отримуємо $y = - \frac{6}{x - 4} - 3$ .
в) Графік переносимо на 3 одиниці праворуч (через $- 3$ у знаменнику) і на 1 одиницю вгору (через $+ 1$ ). Отримуємо $y = - \frac{6}{x - 3} + 1$ .

Відповідь:

а) $y = - \frac{6}{x + 3} + 2$ ; б) $y = - \frac{6}{x - 4} - 3$ ; в) $y = - \frac{6}{x - 3} + 1$ .

Завдання 506

Встановлення відповідності перетворень і рівнянь

Дано параболу $y = x^{2}$ . Установи відповідність між умовами (1–3) та рівняннями параболи (А–Д), які отримають внаслідок виконання перетворень.

Розв’язання

Умова 1: перенесення на 2 одиниці праворуч ( $x - 2$ ) і 3 одиниці вгору ( $+ 3$ ). Рівняння: $y = (x - 2)^{2} + 3$ . Це варіант Г.
Умова 2: перенесення на 4 одиниці ліворуч ( $x + 4$ ) і 2 одиниці вниз ( $- 2$ ). Рівняння: $y = (x + 4)^{2} - 2$ . Це варіант Б.
Умова 3: відображення симетрично відносно осі $x$ змінює знак на протилежний ( $- x^{2}$ ), а підняття на 4 одиниці вгору додає $+ 4$ . Рівняння: $y = - x^{2} + 4$ , що записується як $y = 4 - x^{2}$ . Це варіант В.

Відповідь:

1 — Г; 2 — Б; 3 — В.

Завдання 507

Перенесення графіка функції вздовж осі y

Графік довільної функції $y = f (x)$ паралельно перенесли вздовж осі $y$ на 3 одиниці вниз. Графік якої функції отримали?

Розв’язання

Оскільки графік переноситься на 3 одиниці вниз, до функції $f (x)$ треба відняти 3.
Отримуємо рівняння $y = f (x) - 3$ .

Відповідь:

Завдання 508

Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей

Побудувати графік функції $y = (x - 3)^{2} - 4$ . Користуючись графіком, знайти: а) область визначення; б) область значень; в) нулі функції; г) проміжки знакосталості; д) проміжки зростання та спадання; е) найбільше і найменше значення (якщо є).

Розв’язання

Функція задана у вигляді $y = (x - 3)^{2} - 4$ . Вершина параболі знаходиться в точці $(3; - 4)$ . Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює $1$ ( $a = 1 > 0$ ), гілки параболі спрямовані вгору.
Область визначення функції — це множина всіх дійсних чисел, тобто $(- \infty; + \infty)$ . Область значень починається з найменшого значення функції (координати вершини) і йде до плюс нескінченності: $[- 4; + \infty)$ .
Знайдемо нулі, прирівнявши функцію до нуля: $(x - 3)^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2$ . Отже, $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ . Нулі функції: $1$ і $5$ .
Функція спадає на проміжку до вершини і зростає після неї: спадання — $(- \infty; 3]$ , зростання — $[3; + \infty)$ . Найменше значення дорівнює $- 4$ (у вершині), найбільшого немає.

Відповідь:

а) $D (f) = (- \infty; + \infty)$ ; б) $E (f) = [- 4; + \infty)$ ; в) нулі: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ ; г) знакосталість: від'ємна на $(1; 5)$ , додатна на $(- \infty; 1) \cup (5; + \infty)$ ; д) зростання: $[3; + \infty)$ , спадання: $(- \infty; 3]$ ; е) найменше значення $- 4$ , найбільшого немає.

Завдання 509

Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей

Побудувати графік функції $y = - (x + 2)^{2} + 1$ . Користуючись графіком, знайти: а) область визначення; б) область значень; в) нулі функції; г) проміжки знакосталості; д) проміжки зростання та спадання; е) найбільше і найменше значення (якщо є).

Розв’язання

Функція задана як $y = - (x - (- 2))^{2} + 1$ . Вершина параболі знаходиться в точці $(- 2; 1)$ . Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює $- 1$ ( $a = - 1 < 0$ ), гілки параболі спрямовані вниз.
Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел $R$ . Область значень обмежена зверху координатою вершини: $(- \infty; 1]$ . Найбільше значення дорівнює $1$ , найменшого немає.
Знайдемо нулі: $- (x + 2)^{2} + 1 = 0 \Rightarrow (x + 2)^{2} = 1 \Rightarrow x + 2 = \pm 1$ . Отже, $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 1$ . Нулі функції: $- 3$ і $- 1$ .
Функція зростає на проміжку до вершини і спадає після неї: зростання — $(- \infty; - 2]$ , спадання — $[- 2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $D (f) = (- \infty; + \infty)$ ; б) $E (f) = (- \infty; 1]$ ; в) нулі: $x_{1} = - 3, x_{2} = - 1$ ; г) знакосталість: додатна на $(- 3; - 1)$ , від'ємна на $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ ; д) зростання: $(- \infty; - 2]$ , спадання: $[- 2; + \infty)$ ; е) найбільше значення $1$ , найменшого немає.