ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 103

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 496–501 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Перетворення графіків функцій

Завдання 496

Перетворення графіків функції за умовою монотонності

Побудувати графік функції $y = f (x)$ , яка спадає на проміжку $(- \infty; 2)$ і зростає на $(2; \infty)$ . Визначити властивості (спадання/зростання) та побудувати графіки функцій: а) $y = 2 f (x)$ ; б) $y = 0, 5 f (x)$ ; в) $y = - f (x)$ .

Розв’язання

Функція $y = f (x)$ має мінімум у точці $x = 2$ . На проміжку $(- \infty; 2)$ вона спадає (графік йде вниз), а на $(2; \infty)$ — зростає (йде вгору).
Для $y = 2 f (x)$ графік розтягується відносно осі $O x$ , але порядок зміни (спадання, потім зростання) залишається незмінним.
Для $y = 0, 5 f (x)$ графік стискається відносно осі $O x$ , поведінка також не змінюється.
Для $y = - f (x)$ графік відображається відносно осі $O x$ . Оскільки оригінал спадав, новий графік буде зростати на $(- \infty; 2)$ , а оскільки оригінал зростав, новий графік буде спадати на $(2; \infty)$ .

Відповідь:

Графіки побудовані за описом. Функція $y = 2 f (x)$ спадає на $(- \infty; 2)$ і зростає на $(2; \infty)$ . Функція $y = 0, 5 f (x)$ спадає на $(- \infty; 2)$ і зростає на $(2; \infty)$ . Функція $y = - f (x)$ зростає на $(- \infty; 2)$ і спадає на $(2; \infty)$ .

Завдання 497

Заповнення таблиці значень функції та її перетворень

Дано таблицю значень функції $f (x)$ для $x = - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ . Значення $f (x)$ : $9, 6, 5, 6, 9, 14$ . Потрібно знайти та записати значення $- f (x)$ та $3 f (x)$ .

Розв’язання

Розглядаємо перший стовпчик ( $x = - 2$ ): $f (- 2) = 9$ . Тоді $- f (- 2) = - 9$ , а $3 f (- 2) = 3 \cdot 9 = 27$ .
Для $x = - 1$ : $f (- 1) = 6 \Rightarrow - f (- 1) = - 6, 3 f (- 1) = 18$ .
Для $x = 0$ : $f (0) = 5 \Rightarrow - f (0) = - 5, 3 f (0) = 15$ .
Для $x = 1$ : $f (1) = 6 \Rightarrow - f (1) = - 6, 3 f (1) = 18$ .
Для $x = 2$ : $f (2) = 9 \Rightarrow - f (2) = - 9, 3 f (2) = 27$ .
Для $x = 3$ : $f (3) = 14 \Rightarrow - f (3) = - 14, 3 f (3) = 42$ .

Відповідь:

Заповнена таблиця:
$x$ | $- 2$ | $- 1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$
---|---|---|---|---|---|---
$f (x)$ | $9$ | $6$ | $5$ | $6$ | $9$ | $14$
$- f (x)$ | $- 9$ | $- 6$ | $- 5$ | $- 6$ | $- 9$ | $- 14$
$3 f (x)$ | $27$ | $18$ | $15$ | $18$ | $27$ | $42$

Завдання 498

Побудова графіків функцій, отриманих перетворенням гіперболи

Графік функції $y = \frac{4}{x ^{2}}$ (гіпербола з двома гілками в I та II чвертях). Потрібно побудувати графіки: а) $y = \frac{4}{x ^{2}} + 2$ ; б) $y = \frac{4}{x ^{2}} - 3$ ; в) $y = \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}}$ ; г) $y = \frac{4}{( x - 3 ) ^{2}}$ ; ґ) $y = 1 - \frac{4}{x ^{2}}$ .

Розв’язання

Функція $y = \frac{4}{x ^{2}}$ має асимптоту $x = 0$ та мінімум у точці $(0; \infty)$ (вершина параболи в межах проміжку).
Для а) $y = \frac{4}{x ^{2}} + 2$ : графік піднімається на 2 одиниці вгору. Асимптота залишається $x = 0$ , але мінімальне значення (якщо існує) зміщується.
Для б) $y = \frac{4}{x ^{2}} - 3$ : графік опускається на 3 одиниці вниз.
Для в) $y = \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}}$ : графік зсувається вліво на 2 одиниці. Асимптота стає прямою $x = - 2$ .
Для г) $y = \frac{4}{( x - 3 ) ^{2}}$ : графік зсувається вправо на 3 одиниці. Асимптота стає прямою $x = 3$ .
Для ґ) $y = 1 - \frac{4}{x ^{2}} = - \frac{4}{x ^{2}} + 1$ : графік відображається відносно осі $O x$ (гілки переходять у III та IV чверті) і піднімається на 1 одиницю вгору.

Відповідь:

Графіки побудовані за описом перетворень. а) Зсув вгору на 2; б) Зсув вниз на 3; в) Зсув вліво на 2 (асимптота $x = - 2$ ); г) Зсув вправо на 3 (асимптота $x = 3$ ); ґ) Відображення відносно осі $O x$ та зсув вгору на 1.

Завдання 499

Побудова графіків кубічного кореня

Дано графік функції $y = 3 x$ . Потрібно побудувати графіки функцій: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = 3 x + 1$ ; в) $y = 3 x - 2$ ; г) $y = 3 x + 4$ ; ґ) $y = 3 - 3 x$ .

Розв’язання

Для пункту а) функція має вигляд $y = f (x - 2)$ , тому графік $y = 3 x$ переносимо на 2 одиниці праворуч.
Для пункту б) функція має вигляд $y = f (x + 1)$ , тому графік $y = 3 x$ переносимо на 1 одиницю ліворуч.
Для пункту в) функція має вигляд $y = f (x) - 2$ , тому графік $y = 3 x$ опускаємо на 2 одиниці вниз.
Для пункту г) функція має вигляд $y = f (x) + 4$ , тому графік $y = 3 x$ піднімаємо на 4 одиниці вгору.
Для пункту ґ) функція має вигляд $y = 3 - f (x)$ , тому графік $y = 3 x$ спочатку відображаємо симетрично щодо осі $x$ , а потім піднімаємо на 3 одиниці вгору.

Відповідь:

Графіки побудовані шляхом перенесення та зміщення початкового графіка відповідно до правил перетворень координат.

Завдання 500

Побудова квадратичних функцій

Дано графік параболи $y = x^{2}$ . Потрібно побудувати графіки функцій: а) $y = (x - 2)^{2} + 1$ ; б) $y = (x + 3)^{2} - 4$ ; в) $y = 2 (x - 1)^{2} - 3$ .

Розв’язання

Для а) вершина параболи знаходиться в точці $(2; 1)$ , тому графік $y = x^{2}$ переносимо так, щоб його вершина була в цій точці.
Для б) вершина параболи знаходиться в точці $(- 3; - 4)$ , тому графік $y = x^{2}$ переносимо на 3 одиниці ліворуч і 4 одиниці вниз.
Для в) вершина параболи знаходиться в точці $(1; - 3)$ , а множник $2$ перед дужками означає, що графік має бути стиснутим вздовж осі $y$ порівняно з початковим.

Відповідь:

Графіки побудовані шляхом перенесення вершини та зміни форми параболи відповідно до коефіцієнтів при квадратному тричлені.

Завдання 501

Побудова квадратичних функцій з відображенням

Дано графік параболи $y = - x^{2}$ . Потрібно побудувати графіки функцій: а) $y = - (x - 2)^{2} - 1$ ; б) $y = - (x + 1)^{2} - 3$ ; в) $y = - 0, 5 (x + 3)^{2} + 2$ .

Розв’язання

Для а) вершина знаходиться в точці $(2; - 1)$ , графік відображено щодо осі $x$ і перенесено до цієї точки.
Для б) вершина знаходиться в точці $(- 1; - 3)$ , графік відображено щодо осі $x$ і перенесено до цієї точки.
Для в) вершина знаходиться в точці $(- 3; 2)$ , графік відображено щодо осі $x$ , а множник $0, 5$ означає розтягнення графіка вздовж осі $y$ .

Відповідь:

Графіки побудовані шляхом перенесення вершини, відображення щодо осі $x$ та зміни форми параболи відповідно до коефіцієнтів.