Завдання 510, § 10. Перетворення графіків функцій — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 510

Розв'язування рівнянь графічно

а) $(x - 2)^{2} = 2 x - 1$ ; б) $(x + 3)^{2} = x + 2 + 3$ ; в) $x + 1 = \frac{6}{x}$ .

Розв’язання

а) Побудуємо графи $y = (x - 2)^{2}$ та $y = 2 x - 1$ . Знайдемо точки перетину (виглядає як $x = 1, x = 3$ ). Перевіримо підстановкою: $(1 - 2)^{2} = 1$ , $2 \cdot 1 - 1 = 1$ ; $(3 - 2)^{2} = 1$ , $2 \cdot 3 - 1 = 5$ (ошибка в оцінці, перевіримо точніше: корені $x = 1$ і $x = 3$ не підходять для другого рівняння? Перевіримо алгебраїчно: $x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 1 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$ . Корені: $1, 5$ . Графічно це точки перетину параболі та прямої).
б) Побудуємо графи $y = (x + 3)^{2}$ та $y = x + 2 + 3$ . Область визначення другого графіка: $x \geq - 2$ . Точка перетину: $x = - 1$ (перевірка: $(- 1 + 3)^{2} = 4$ , $- 1 + 2 + 3 = 1 + 3 = 4$ ).
в) Побудуємо графи $y = x + 1$ та $y = \frac{6}{x}$ . Область визначення: $x \geq - 1, x \neq = 0$ . Точка перетину: $x = 2$ (перевірка: $3 \approx 1.73$ , $6/2 = 3$ — не підходить? Перевіримо алгебраїчно: $x + 1 = 6/ x \Rightarrow x + 1 = 36/ x^{2} \Rightarrow x^{3} + x^{2} - 36 = 0$ . Корінь $x = 3$ : $27 + 9 - 36 = 0$ . Отже, $x = 3$ ).

Відповідь:

а) $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ ; б) $x = - 1$ ; в) $x = 3$ .

Розбір зрозумілий?

§ 10. Перетворення графіків функцій Завдання 510 с. 105

Розв'язування рівнянь графічно

Умова

а) $(x - 2)^{2} = 2 x - 1$ ; б) $(x + 3)^{2} = x + 2 + 3$ ; в) $x + 1 = \frac{6}{x}$ .

Що треба знати

Щоб розв'язати рівняння графічно, потрібно побудувати графи функцій $y_{1} = (x - 2)^{2}$ та $y_{2} = 2 x - 1$ для пункту а), $y_{1} = (x + 3)^{2}$ та $y_{2} = x + 2 + 3$ для пункту б), $y_{1} = x + 1$ та $y_{2} = \frac{6}{x}$ для пункту в). Точки перетину цих графіків дають корені рівнянь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку зручно розглянути а) як перетворення парабол $y = x^{2}$ . Для б) та в) зверни увагу на області визначення (корінь має бути від'ємним лише при додатному виразі під коренем, дріб — при ненульовому знаменнику).

Розв’язання крок за кроком

а) Побудуємо графи $y = (x - 2)^{2}$ та $y = 2 x - 1$ . Знайдемо точки перетину (виглядає як $x = 1, x = 3$ ). Перевіримо підстановкою: $(1 - 2)^{2} = 1$ , $2 \cdot 1 - 1 = 1$ ; $(3 - 2)^{2} = 1$ , $2 \cdot 3 - 1 = 5$ (ошибка в оцінці, перевіримо точніше: корені $x = 1$ і $x = 3$ не підходять для другого рівняння? Перевіримо алгебраїчно: $x^{2} - 4 x + 4 = 2 x - 1 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$ . Корені: $1, 5$ . Графічно це точки перетину параболі та прямої).
б) Побудуємо графи $y = (x + 3)^{2}$ та $y = x + 2 + 3$ . Область визначення другого графіка: $x \geq - 2$ . Точка перетину: $x = - 1$ (перевірка: $(- 1 + 3)^{2} = 4$ , $- 1 + 2 + 3 = 1 + 3 = 4$ ).
в) Побудуємо графи $y = x + 1$ та $y = \frac{6}{x}$ . Область визначення: $x \geq - 1, x \neq = 0$ . Точка перетину: $x = 2$ (перевірка: $3 \approx 1.73$ , $6/2 = 3$ — не підходить? Перевіримо алгебраїчно: $x + 1 = 6/ x \Rightarrow x + 1 = 36/ x^{2} \Rightarrow x^{3} + x^{2} - 36 = 0$ . Корінь $x = 3$ : $27 + 9 - 36 = 0$ . Отже, $x = 3$ ).

Відповідь:

а) $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ ; б) $x = - 1$ ; в) $x = 3$ .

Розбір зрозумілий?