Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей
Побудувати графік функції y=−(x+2)2+1. Користуючись графіком, знайти: а) область визначення; б) область значень; в) нулі функції; г) проміжки знакосталості; д) проміжки зростання та спадання; е) найбільше і найменше значення (якщо є).
Розв’язання
Функція задана як y=−(x−(−2))2+1. Вершина параболі знаходиться в точці (−2;1). Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює −1 (a=−1<0), гілки параболі спрямовані вниз.
Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел R. Область значень обмежена зверху координатою вершини: (−∞;1]. Найбільше значення дорівнює 1, найменшого немає.
Знайдемо нулі: −(x+2)2+1=0⇒(x+2)2=1⇒x+2=±1. Отже, x1=−3, x2=−1. Нулі функції: −3 і −1.
Функція зростає на проміжку до вершини і спадає після неї: зростання — (−∞;−2], спадання — [−2;+∞).
Відповідь:
а) D(f)=(−∞;+∞); б) E(f)=(−∞;1]; в) нулі: x1=−3,x2=−1; г) знакосталість: додатна на (−3;−1), від'ємна на (−∞;−3)∪(−1;+∞); д) зростання: (−∞;−2], спадання: [−2;+∞); е) найбільше значення 1, найменшого немає.
Розбір зрозумілий?
§ 10. Перетворення графіків функційЗавдання 509с. 104
Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей
Умова
Побудувати графік функції y=−(x+2)2+1. Користуючись графіком, знайти: а) область визначення; б) область значень; в) нулі функції; г) проміжки знакосталості; д) проміжки зростання та спадання; е) найбільше і найменше значення (якщо є).
Що треба знати
Графіком квадратичної функції y=a(x−x0)2+y0 є парабола. Вершина параболі знаходиться в точці (x0;y0). Якщо a<0, гілки параболі спрямовані вниз, тому функція має найбільше значення у вершині.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди координати вершини та напрям гілок (вниз). Визнач нулі, розв'язавши рівняння −(x+2)2+1=0.
Розв’язання крок за кроком
Функція задана як y=−(x−(−2))2+1. Вершина параболі знаходиться в точці (−2;1). Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює −1 (a=−1<0), гілки параболі спрямовані вниз.
Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел R. Область значень обмежена зверху координатою вершини: (−∞;1]. Найбільше значення дорівнює 1, найменшого немає.
Знайдемо нулі: −(x+2)2+1=0⇒(x+2)2=1⇒x+2=±1. Отже, x1=−3, x2=−1. Нулі функції: −3 і −1.
Функція зростає на проміжку до вершини і спадає після неї: зростання — (−∞;−2], спадання — [−2;+∞).
Відповідь:
а) D(f)=(−∞;+∞); б) E(f)=(−∞;1]; в) нулі: x1=−3,x2=−1; г) знакосталість: додатна на (−3;−1), від'ємна на (−∞;−3)∪(−1;+∞); д) зростання: (−∞;−2], спадання: [−2;+∞); е) найбільше значення 1, найменшого немає.
