Завдання 508, § 10. Перетворення графіків функцій — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 508

Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей

Побудувати графік функції $y = (x - 3)^{2} - 4$ . Користуючись графіком, знайти: а) область визначення; б) область значень; в) нулі функції; г) проміжки знакосталості; д) проміжки зростання та спадання; е) найбільше і найменше значення (якщо є).

Розв’язання

Функція задана у вигляді $y = (x - 3)^{2} - 4$ . Вершина параболі знаходиться в точці $(3; - 4)$ . Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює $1$ ( $a = 1 > 0$ ), гілки параболі спрямовані вгору.
Область визначення функції — це множина всіх дійсних чисел, тобто $(- \infty; + \infty)$ . Область значень починається з найменшого значення функції (координати вершини) і йде до плюс нескінченності: $[- 4; + \infty)$ .
Знайдемо нулі, прирівнявши функцію до нуля: $(x - 3)^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2$ . Отже, $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ . Нулі функції: $1$ і $5$ .
Функція спадає на проміжку до вершини і зростає після неї: спадання — $(- \infty; 3]$ , зростання — $[3; + \infty)$ . Найменше значення дорівнює $- 4$ (у вершині), найбільшого немає.

Відповідь:

а) $D (f) = (- \infty; + \infty)$ ; б) $E (f) = [- 4; + \infty)$ ; в) нулі: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ ; г) знакосталість: від'ємна на $(1; 5)$ , додатна на $(- \infty; 1) \cup (5; + \infty)$ ; д) зростання: $[3; + \infty)$ , спадання: $(- \infty; 3]$ ; е) найменше значення $- 4$ , найбільшого немає.

Розбір зрозумілий?

§ 10. Перетворення графіків функцій Завдання 508 с. 104

Побудова графіка квадратної функції та аналіз властивостей

Умова

Що треба знати

Графіком квадратичної функції $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ є парабола. Вершина парабoli знаходиться в точці $(x_{0}; y_{0})$ . Якщо $a > 0$ , гілки параболі спрямовані вгору, якщо $a < 0$ — вниз. Область визначення для функції $y = f (x)$ зазвичай є множиною всіх дійсних чисел $R$ . Нулями називають точки перетину графіка з віссю $O x$ (де $y = 0$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайди координати вершини параболі, визнач напрям гілок і записує рівняння. Потім побудуй кілька точок графіка навколо вершини та з'єднай їх плавною лінією.

Розв’язання крок за кроком

Функція задана у вигляді $y = (x - 3)^{2} - 4$ . Вершина параболі знаходиться в точці $(3; - 4)$ . Оскільки коефіцієнт при квадраті дорівнює $1$ ( $a = 1 > 0$ ), гілки параболі спрямовані вгору.
Область визначення функції — це множина всіх дійсних чисел, тобто $(- \infty; + \infty)$ . Область значень починається з найменшого значення функції (координати вершини) і йде до плюс нескінченності: $[- 4; + \infty)$ .
Знайдемо нулі, прирівнявши функцію до нуля: $(x - 3)^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 4 \Rightarrow x - 3 = \pm 2$ . Отже, $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ . Нулі функції: $1$ і $5$ .
Функція спадає на проміжку до вершини і зростає після неї: спадання — $(- \infty; 3]$ , зростання — $[3; + \infty)$ . Найменше значення дорівнює $- 4$ (у вершині), найбільшого немає.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?