Завдання 458, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 458

Побудова графіків функцій

а) $y = x ∣ x ∣$ ; б) $y = (x - 2)^{2}$ ; в) $y = \frac{4}{∣ x ∣}$ .

Розв’язання

Варіант а) $y = x ∣ x ∣$ :
Область визначення — всі дійсні числа ( $R$ ).
Якщо $x \geq 0$ , то $∣ x ∣ = x$ , отже $y = x^{2}$ (парабола, права гілка).
Якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ , отже $y = - x^{2}$ (парабола, ліва гілка).
Графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Функція непарна.
Варіант б) $y = (x - 2)^{2}$ :
Спростимо вираз: $a^{2} = ∣ a ∣$ , тому $y = ∣ x - 2∣$ .
Область визначення — $R$ .
Нулі функції: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка $(2; 0)$ ).
Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = ∣ - 2∣ = 2$ (точка $(0; 2)$ ).
Графік — «V»-подібна лінія з вершиною в точці $(2; 0)$ .
Варіант в) $y = \frac{4}{∣ x ∣}$ :
Область визначення: $x \neq = 0$ (оскільки у знаменнику не може бути нуля).
Функція парна, графік симетричний відносно осі $O y$ .
При $x > 0$ : $y = \frac{4}{x}$ (гіпербола в I та IV координатних чвертях, але тут тільки $y > 0$ ).
При $x < 0$ : $y = \frac{4}{- x}$ .
Асимптоти: $x = 0$ (вертикальна), $y = 0$ (горизонтальна).

Відповідь:

а) Графік складається з двох гілок парабол, що сходяться в точці $(0; 0)$ ; область визначення $R$ .
б) Графік — модульна функція з вершиною в $(2; 0)$ ; область визначення $R$ .
в) Графік гіперболи, розташованої у I та II координатних чвертях (оскільки $y$ завжди додатне); область визначення $x \neq = 0$ .

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 458 с. 92

Побудова графіків функцій

Умова

а) $y = x ∣ x ∣$ ; б) $y = (x - 2)^{2}$ ; в) $y = \frac{4}{∣ x ∣}$ .

Що треба знати

Для побудови графіка потрібно визначити область визначення, знайти нулі функції (перетин з віссю $O x$ ), точки перетину з віссю $O y$ , а також проаналізувати знак функції та її монотонність на різних інтервалах.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спростіть вираз під знаком модуля в кожному випадку, розглядаючи окремо випадки $x \geq 0$ та $x < 0$ . Знайдіть точки перетину з осями координат.

Розв’язання крок за кроком

Варіант а) $y = x ∣ x ∣$ :
Область визначення — всі дійсні числа ( $R$ ).
Якщо $x \geq 0$ , то $∣ x ∣ = x$ , отже $y = x^{2}$ (парабола, права гілка).
Якщо $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ , отже $y = - x^{2}$ (парабола, ліва гілка).
Графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Функція непарна.
Варіант б) $y = (x - 2)^{2}$ :
Спростимо вираз: $a^{2} = ∣ a ∣$ , тому $y = ∣ x - 2∣$ .
Область визначення — $R$ .
Нулі функції: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка $(2; 0)$ ).
Перетин з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = ∣ - 2∣ = 2$ (точка $(0; 2)$ ).
Графік — «V»-подібна лінія з вершиною в точці $(2; 0)$ .
Варіант в) $y = \frac{4}{∣ x ∣}$ :
Область визначення: $x \neq = 0$ (оскільки у знаменнику не може бути нуля).
Функція парна, графік симетричний відносно осі $O y$ .
При $x > 0$ : $y = \frac{4}{x}$ (гіпербола в I та IV координатних чвертях, але тут тільки $y > 0$ ).
При $x < 0$ : $y = \frac{4}{- x}$ .
Асимптоти: $x = 0$ (вертикальна), $y = 0$ (горизонтальна).

Відповідь:

Розбір зрозумілий?