Сторінка 92

Розв’язання

1. Оскільки $x^4\ge 0$ для будь-якого дійсного $x$, то сума $x^4+3\ge 3$. Отже, значення функції завжди додатні ($>0$).

2. Область визначення — це множина всіх дійсних чисел: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

3. Функція не має найбільшого значення (при $x\to \pm \infty$, $f(x)\to +\infty$).

4. Найменше значення досягається, коли $x^4=0$, тобто при $x=0$. Тоді $f(0)=3$.

Розв’язання

1. Оскільки $x^2\ge 0$ і $x^4\ge 0$, то $-x^2\le 0$ і $-x^4\le 0$. Сума двох недодатних чисел також є недодатною ($f(x)\le 0$).

2. Область визначення — множина всіх дійсних чисел: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$.

3. Функція не має найменшого значення (при $x\to \pm \infty$, $f(x)\to -\infty$).

4. Найбільше значення досягається, коли обидва доданки дорівнюють нулю, тобто при $x=0$. Тоді $f(0)=0$.

Розв’язання

1. Запишемо умову області значень як нерівність: $-35\le x^3-8\le 0$.

2. Додамо 8 до всіх частин нерівності: $-27\le x^3\le 8$.

3. Знайдемо кубічний корінь з усіх чисел (функція $x^3$ зростає, тому знак нерівності не зміниться): $\sqrt[3]{-27}\le x\le \sqrt[3]{8}$.

4. Отримуємо: $-3\le x\le 2$.

Розв’язання

1. Варіант а) $y=x|x|$:
   Область визначення — всі дійсні числа ($\mathbb{R}$).
   Якщо $x\ge 0$, то $|x|=x$, отже $y=x^2$ (парабола, права гілка).
   Якщо $x<0$, то $|x|=-x$, отже $y=-x^2$ (парабола, ліва гілка).
   Графік проходить через початок координат $(0;0)$. Функція непарна.

2. Варіант б) $y=\sqrt{(x-2{)}^2}$:
   Спростимо вираз: $\sqrt{a^2}=|a|$, тому $y=|x-2|$.
   Область визначення — $\mathbb{R}$.
   Нулі функції: $x-2=0\Rightarrow x=2$ (точка $(2;0)$).
   Перетин з віссю $Oy$: при $x=0$, $y=|-2|=2$ (точка $(0;2)$).
   Графік — «V»-подібна лінія з вершиною в точці $(2;0)$.

3. Варіант в) $y=\frac{4}{|x|}$:
   Область визначення: $x\ne 0$ (оскільки у знаменнику не може бути нуля).
   Функція парна, графік симетричний відносно осі $Oy$.
   При $x>0$: $y=\frac{4}{x}$ (гіпербола в I та IV координатних чвертях, але тут тільки $y>0$).
   При $x<0$: $y=\frac{4}{-x}$.
   Асимптоти: $x=0$ (вертикальна), $y=0$ (горизонтальна).

Розв’язання

1. Розгляд малюнків:
   а) Швидкість подачі води однакова, але нахил графіка ($y^{\prime }$) різний для різних резервуарів. Отже, швидкість зростання функції залежить від площі основи резервуара: чим більша площа, тим менший нахил (менша швидкість).
   б) Найбільша швидкість зростання (найкрутіший нахил) у випадку а (вужчий циліндр). Найменша швидкість (найспокійніший нахил) у випадку б (широкий циліндр).

2. Графік для малюнка 9.12:
   Резервуар складається з трьох частин: широкий низ, середня частина, вузька верхня.
   Графік буде складатися з трьох відрізків прямих ліній:
   - Спочатку повільне зростання (широкий низ).
   - Потім швидше зростання (середня частина).
   - Нарешті, дуже швидке зростання (вузька верхня частина).
   Графік має вигляд ступінчастої функції зростання.

Розв’язання

1. Визначимо параметри:
   Калорії для спалення $Q=108$.
   Припустимо маса тіла $m=50\text{кг}$.

2. Варіант а) Прасування білизни ($k=3,6$):
   Швидкість спалення: $50\cdot 3,6=180\text{кал/год}$.
   Час: $t=\frac{108}{180}=0,6\text{години}$.
   Переведемо в хвилини: $0,6\cdot 60=36\text{хв}$.

3. Варіант б) Прополка городу ($k=5$):
   Швидкість спалення: $50\cdot 5=250\text{кал/год}$.
   Час: $t=\frac{108}{250}=0,432\text{години}$.
   Переведемо в хвилини: $0,432\cdot 60\approx 26\text{хв}$.

4. Варіант в) Чистка килимів ($k=2,9$):
   Швидкість спалення: $50\cdot 2,9=145\text{кал/год}$.
   Час: $t=\frac{108}{145}\approx 0,745\text{години}$.
   Переведемо в хвилини: $0,745\cdot 60\approx 45\text{хв}$.