Сторінка 91

Розв’язання

1. Для пункту а):
   - При $x<-3$: це пряма $y=x+7$. Точка перетину з віссю $Ox$: $x=-7$, з віссю $Oy$: $(0;7)$. Оскільки $x<-3$, відмічаємо проміжок ліворуч від точки $(-3;4)$ (кринка).
   - При $-3\le x\le 1$: це пряма $y=-2x-2$. Точки: $(-3;4)$ та $(1;-4)$. Малюємо відрізок між ними.
   - При $x>1$: гіпербола $y=-\frac{4}{x}$. Асимптоти — осі координат. Точка $(2;-2)$. Відмічаємо гілку гіперболи праворуч від точки $(1;-4)$, що прямує до асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;7]$. Нулі: $x=-7$ (перша частина), $x=-1$ (друга частина). Знакосталість: зростає на $(-\infty ;-3)$, спадає на $[-3;1)$ та $(0;1]$, спадає на $(1;+\infty )$. Найбільше значення: $7$ (у точці $x=-3$).

2. Для пункту б):
   - При $x\le -2$: гіпербола $y=\frac{8}{x}$. Точка $(-2;-4)$. Гілка ліворуч від асимптот.
   - При $-2<x<2$: парабола $y=-x^2$. Вершина $(0;0)$, точки $(-2;-4)$ та $(2;-4)$. Малюємо дугу між ними (без точок на кінцях).
   - При $x\ge 2$: пряма $y=x-6$. Точка $(2;-4)$. Відмічаємо проміжок праворуч від точки $(2;-4)$, що йде вгору.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;0]$. Нулі: немає (перша частина не перетинає вісь на проміжку, друга — вершина в 0, третя — ні). Знакосталість: спадає на $(-\infty ;-2)$, спадає на $(-2;0]$, зростає на $(0;2)$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше значення: $0$ (у точці $x=0$).

Розв’язання

1. Для пункту а):
   - При $x<-2$: гіпербола $y=\frac{6}{x}$. Точка $(-2;-3)$. Гілка ліворуч, прямує до асимптот.
   - При $-2\le x\le 2$: пряма $y=1,5x$. Проходить через початок координат. Точки $(-2;-3)$ та $(2;3)$. Малюємо відрізок.
   - При $x>2$: гіпербола $y=\frac{6}{x}$. Точка $(2;3)$. Гілка праворуч, прямує до асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;+\infty )$ (оскільки пряма проходить через 0 і йде вгору/вниз). Нулі: $x=0$ (друга частина). Знакосталість: спадає на $(-\infty ;-2)$, зростає на $[-2;2]$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше/найменше значення: не існує (функція необмежена).

2. Для пункту б):
   - При $x\le -3$: пряма $y=3x+18$. Точки $(-3;9)$ та $(-6;0)$. Малюємо проміжок ліворуч від точки $(-3;9)$.
   - При $-3<x<2$: парабола $y=x^2$. Вершина $(0;0)$, точки $(-3;9)$ та $(2;4)$. Малюємо дугу між ними (без точок на кінцях).
   - При $x\ge 2$: гіпербола $y=\frac{8}{x}$. Точка $(2;4)$. Гілка праворуч від асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $[0;+\infty )$ (парабола та гіпербола додатні, пряма на проміжку $x\le -3$ дає значення до 9). Нулі: немає (параболі вершина в 0, але вона не перетинає вісь інше рази, пряма при $x=-6$ дає 0, але це не нуль функції в сенсі кореня рівняння $y=0$, а просто точка на графіку). Нулі функції: $x=-6$ (перша частина), $x=0$ (друга частина). Знакосталість: зростає на $(-\infty ;-3]$, спадає на $[-3;0]$, зростає на $[0;2)$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше значення: не існує. Найменше значення: $0$ (у точці $x=0$).

Розв’язання

1. Для пункту а):
   - Область визначення від $x=-6$ до $x=2$. Область значень від $y=-2$ до $y=2$.
   - Побудуй графік, наприклад, відрізок прямої, що з'єднує точки $(-6;-2)$ та $(2;2)$. Або будь-яку іншу криву, яка не виходить за межі цього прямокутника.
   - Приклад функції: $y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$ на проміжку $[-6;2]$. Перевірка: при $x=-6$, $y=-1,5$ (в межах), при $x=2$, $y=1$ (в межах).

2. Для пункту б):
   - Область визначення: від $-1$ до $3$ (виключаючи $3$) і від $3$ до $5$ (включаючи $5$). Тобто проміжок $[-1;5]\setminus \{3\}$.
   - Область значень: від $-3$ до $1$ (виключаючи $1$) і від $1$ до $3$ (включаючи $3$). Тобто проміжок $[-3;3]\setminus \{1\}$.
   - Побудуй графік, наприклад, гіперболу або відрізок прямої, що уникне точки з координатою $y=1$ та $x=3$. Наприклад, функція $y=x-2$ на проміжку $[-1;5]\setminus \{3\}$. При $x=-1$, $y=-3$; при $x=5$, $y=3$. Але треба уникнути $y=1$. Точка $(3;1)$ не входить до області значень, тому графік має перерватися або йти іншим шляхом.

Розв’язання

1. а) Функція має вигляд $y=kx+b$, де $k=3$. Оскільки $3>0$, функція зростає на всій числовій прямій $\mathbb{R}$.

2. б) Функція $y=-x^2+1$ є квадратичною з від'ємним коефіцієнтом при $x^2$ ($a=-1$). Вершина параболи знаходиться на осі $Oy$ (точка $(0;1)$), тому права гілка параболи починається з вершини і йде вниз.

3. На проміжку $[0;+\infty )$ ми розглядаємо праву гілку параболи, яка спрямована вниз, отже функція спадає.

Розв’язання

1. а) Функція має вигляд $y=kx+b$, де $k=-2$. Оскільки $-2<0$, функція спадає на всій числовій прямій $\mathbb{R}$.

2. б) Функція $y=2x^2+3$ є квадратичною з додатним коефіцієнтом при $x^2$ ($a=2$). Вершина параболи знаходиться в початку координат $(0;3)$, тому права гілка параболи починається з вершини і йде вгору.

3. На проміжку $[0;+\infty )$ ми розглядаємо праву гілку параболи, яка спрямована вгору, отже функція зростає.

Розв’язання

1. Порівняємо аргументи: $1<8<9$.

2. Оскільки функція зростає, то значення функції мають дотримуватися тієї ж послідовності: $f(1)<f(8)<f(9)$.

3. Підставимо відомі значення: $-2<f(8)<5$.

4. Перевіримо варіанти відповідей:
   - А $-8$ (не підходить, бо $-8<-2$);
   - Б $-3$ (не підходить, бо $-3<-2$);
   - В $-2$ (не підходить, бо $-2=f(1)$, а нам потрібно більше за $-2$);
   - Г $3$ (підходить, бо $-2<3<5$);
   - Д $8$ (не підходить, бо $8>5$).

Розв’язання

1. Пункт а): Розв'язуємо рівняння $-2x+5=0$, отримуємо $x=2,5$. Оскільки коефіцієнт при $x$ від'ємний ($k=-2<0$), функція зростає до нескінченності праворуч. Отже, $y>0$ при $x<2,5$.
   Пункт б): Рівняння $0,5x-3=0$ дає $x=6$. Коефіцієнт додатний ($k=0,5>0$), тому графік вище осі для $x>6$.

2. Пункт в): Знаходимо корені квадратного тричлена: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\Rightarrow x_1=1,x_2=2$. Графік параболи розкривається вгору ($a>0$), тому додатні значення при $x<1$ або $x>2$.

3. Пункт г): Область визначення: $x+4\ge 0\Rightarrow x\ge -4$. При таких $x$ вираз під коренем додатний, отже функція додатна на всій області визначення: $[-4;+\infty )$.

4. Пункт ґ): Область визначення: $x\ne 0$. Розкладаємо чисельник: $3(x-3)$. Знак дробу залежить від знаків чисельника та знаменника. Чисельник додатний при $x>3$ і від'ємний при $x<3$. Отже, дріб додатний, коли обидва множники мають однаковий знак:
   - $\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x>0\end{array}\Rightarrow x>3$;
   - $\{\begin{array}{l}x-3<0\\ x<0\end{array}\Rightarrow x<3$ і $x<0$, тобто $x<0$.
   Відповідно: $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$.

5. Пункт д): Спростимо вираз: $\frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}$. Область визначення: $x\ne -1$. Знайдемо нулі чисельника: $2x+1=0\Rightarrow x=-0,5$.
   Проаналізуємо знаки:
   - При $x>-0,5$ (наприклад, $x=0$): $\frac{+}{+}=+$.
   - При $-1<x<-0,5$ (наприклад, $x=-0,75$): чисельник $(-)$, знаменник $(+)$ $\Rightarrow (-)$.
   - При $x<-1$: чисельник $(-)$, знаменник $(-)$ $\Rightarrow (+)$.
   Додатні значення: $(-\infty ;-1)\cup (-0,5;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Знайдемо нуль: $5x-1=0\Rightarrow x=0,2$. Функція зростає, тому недодатна при $x\le 0,2$.

2. б) Область визначення: $x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4$. Корінь завжди $\ge 0$, тому функція набуває нуль лише в точці $x=4$ і не може бути від'ємною. Відповідь: $x=4$.

3. в) Знайдемо корені: $(x+1)(2-x)=0\Rightarrow x_1=-1,x_2=2$. Це парабола з відкриттям вниз ($a<0$), тому недодатна між коренями: $-1\le x\le 2$.

4. г) Функція кубічна, нуль у точці $x=-2$. При $x>-2$ функція додатна, при $x<-2$ — від'ємна. Відповідь: $x\le -2$.

5. ґ) Область визначення: $x\ne 0$. Знайдемо нуль чисельника: $6+2x=0\Rightarrow x=-3$. При $x<-3$ чисельник від'ємний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб додатний. При $-3<x<0$ чисельник додатний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб недодатний.

6. д) Спростимо: $\frac{1}{x-1}-1=\frac{1-(x-1)}{x-1}=\frac{2-x}{x-1}$. Нулі чисельника та знаменника: $x=2$ і $x=1$. Перевірка знаків показує, що функція недодатна при $1<x\le 2$.

Розв’язання

1. Коефіцієнти рівняння $x^2+(2a+1)x+a^2-3=0$: $a_1=1$, $b=2a+1$, $c=a^2-3$.

2. Обчислимо дискримінант: $D=(2a+1{)}^2-4\cdot 1\cdot (a^2-3)=4a^2+4a+1-4a^2+12=4a+13$.

3. Для двох різних коренів потрібно, щоб $D>0$: $4a+13>0\Rightarrow 4a>-13\Rightarrow a>-\frac{13}{4}$.

Розв’язання

1. Запишемо коефіцієнти квадратного тричлена: $A=1$, $B=a-3$, $C=2a^2-a$.

2. Обчислимо дискримінант за формулою $D=B^2-4AC$:
   $$D=(a-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (2a^2-a)$$
   $$D=(a^2-6a+9)-(8a^2-4a)$$
   $$D=a^2-6a+9-8a^2+4a$$
   $$D=-7a^2-2a+9$$

3. Прирівняємо дискримінант до нуля: $-7a^2-2a+9=0$. Помножимо рівняння на $-1$, щоб спростити розв'язання: $7a^2+2a-9=0$.

4. Знайдемо корені цього квадратного рівняння за формулою $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D_1}}{2a}$ (де $a=7,b=2,c=-9$):
   $$D_1=2^2-4\cdot 7\cdot (-9)=4+252=256$$
   $$\sqrt{D_1}=16$$
   $$a_1=\frac{-2-16}{2\cdot 7}=\frac{-18}{14}=-\frac{9}{7}$$
   $$a_2=\frac{-2+16}{2\cdot 7}=\frac{14}{14}=1$$