ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 90

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 438–444 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Властивості функцій Functions Properties

Завдання 438

Область значень функції

y = - x^{2}

Знайти область значень функції $y = - x^{2}$ на проміжках: а) $[- 3; 3]$ ; б) $[1; 4)$ ; в) $[0; + \infty)$ . Вказати найбільше та найменше значення.

Розв’язання

Проаналізуємо функцію $y = - x^{2}$ . Вершина параболи — точка $(0; 0)$ , де приймає найбільше значення ( $y_{ma x} = 0$ ). Графік симетричний відносно осі $O Y$ .
а) На проміжку $[- 3; 3]$ точки $x = 0$ та $x = \pm 3$ є важливими. $y (0) = 0$ , $y (- 3) = - 9$ , $y (3) = - 9$ . Значення змінюється від $- 9$ до $0$ .
б) На проміжку $[1; 4)$ функція спадає (оскільки $x > 0$ ). Найбільше значення буде в точці $x = 1$ : $y (1) = - 1$ , найменше — у граничній точці $x \to 4$ : $y \to - 16$ .
в) На проміжку $[0; + \infty)$ функція спадає від нуля. Найбільше значення $y = 0$ (при $x = 0$ ), найменшого немає, але прямує до $- \infty$ .

Відповідь:

а) $[- 9; 0]$ , найбільше $0$ , найменше $- 9$ ; б) $(- 16; - 1]$ , найбільше $- 1$ , найменшого немає (наближається до $- 16$ ); в) $(- \infty; 0]$ , найбільше $0$ , найменшого немає.

Завдання 439

Область значень функції

y = x^{2}

Знайти область значень функції $y = x^{2}$ на проміжках: а) $[- 2; 2]$ ; б) $[- 1; 3)$ ; в) $(- \infty; 0]$ . Вказати найбільше та найменше значення.

Розв’язання

Проаналізуємо функцію $y = x^{2}$ . Вершина параболи — точка $(0; 0)$ , де приймає найменше значення ( $y_{min} = 0$ ).
а) На проміжку $[- 2; 2]$ точка $x = 0$ належить проміжку. Найменше значення $y (0) = 0$ . Найбільше значення буде на кінцях: $y (- 2) = 4$ , $y (2) = 4$ . Отже, діапазон $[0; 4]$ .
б) На проміжку $[- 1; 3)$ точка $x = 0$ належить. Найменше значення $y (0) = 0$ . Найбільше значення наближається до $k = 3$ : $y \to 9$ , але не досягає його. Значення в точці $- 1$ : $y (- 1) = 1$ . Отже, діапазон $[0; 9)$ .
в) На проміжку $(- \infty; 0]$ функція зростає до точки $x = 0$ . Найменше значення не існує (прямує до $+ \infty$ ), найбільше — у точці $x = 0$ , де $y = 0$ .

Відповідь:

а) $[0; 4]$ , найменше $0$ , найбільше $4$ ; б) $[0; 9)$ , найменше $0$ , найбільшого немає (наближається до $9$ ); в) $(+ \infty; 0]$ , найменшого немає, найбільше $0$ .

Завдання 440

Область визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 12 - 4 x + 2 x + 5$ ; б) $y = \frac{3}{x ^{2} - 1} + x + 2$ ; в) $y = \frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{7}{x - 5}$ ; г) $y = \frac{x ^{2} + 1 + 2 x + 1}{∣ x ∣ - 3}$ .

Розв’язання

а) Потрібно, щоб $12 - 4 x \geq 0$ і $2 x + 5 \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \leq 3$ і $x \geq - 2, 5$ . Перетин: $[- 2, 5; 3]$ .
б) Потрібно, щоб $x^{2} - 1 \neq = 0$ (тобто $x \neq = \pm 1$ ) і $x + 2 \geq 0$ ( $x \geq - 2$ ). Перетин: $[- 2; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ .
в) Потрібно, щоб $2 x - 3 > 0$ і $x - 5 > 0$ (бо знаменник кореня не може бути нулем). Розв'язуємо: $x > 1, 5$ і $x > 5$ . Перетин: $(5; + \infty)$ .
г) Потрібно, щоб $x^{2} + 1 \geq 0$ (задовільняється завжди), $2 x + 1 \geq 0$ ( $x \geq - 0, 5$ ) і $∣ x ∣ - 3 \neq = 0$ ( $x \neq = \pm 3$ ). Перетин: $[- 0, 5; + \infty)$ без точок $\pm 3$ . Оскільки $- 3 < - 0, 5$ , то виключаємо лише $3$ . Отримуємо $[- 0, 5; 3) \cup (3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[- 2, 5; 3]$ ; б) $[- 2; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ ; в) $(5; + \infty)$ ; г) $[- 0, 5; 3) \cup (3; + \infty)$ .

Завдання 441

Область визначення функцій з коренями та дробами

Знайти область визначення функції $y = 5 x + 10 + 2 - 4 x$ (а), $y = \frac{5 x}{x ^{2} - 16} + x + 12$ (б), $y = \frac{6}{3 x - 15} + \frac{3 x}{x + 2}$ (в), $y = \frac{x ^{2} + 4 + 4 x + 7}{∣ x ∣ - 1}$ (г).

Розв’язання

Для пункту а): ${5 x + 10 \geq 0 2 - 4 x \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 2$ і $x \leq 0, 5$ . Перетин проміжків: $[- 2; 0, 5]$ .
Для пункту б): ${x + 12 \geq 0 x^{2} - 16 \neq = 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 12$ і $x \neq = \pm 4$ . Перетин: $[- 12; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ .
Для пункту в): ${3 x - 15 > 0 x + 2 > 0$ (знаменник не може бути нулем, тому нерівності суворі). Розв'язуємо: $x > 5$ і $x > - 2$ . Перетин: $(5; + \infty)$ .
Для пункту г): $⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 4 \geq 0 4 x + 7 \geq 0 ∣ x ∣ - 1 \neq = 0$ . Оскільки $x^{2} + 4$ завжди додатне, розглядаємо $x \geq - 1, 75$ і $x \neq = \pm 1$ . Перетин: $[- 1, 75; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[- 2; 0, 5]$ ; б) $[- 12; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(5; + \infty)$ ; г) $[- 1, 75; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 442

Знаходження нулів функцій

Знайти нулі функції: а) $y = (2 x + 1) (2 x - 1) - 6 (x - 1)^{2} - 9$ ; б) $y = x^{2} - 13 x + 36$ ; в) $y = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{- x - 2}$ ; г) $y = \frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3} - \frac{18}{x ^{2} - 9}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкриваємо дужки та спрощуємо: $y = 4 x^{2} - 1 - 6 (x^{2} - 2 x + 1) - 9 = 4 x^{2} - 1 - 6 x^{2} + 12 x - 6 - 9 = - 2 x^{2} + 12 x - 16$ . Ставимо $y = 0$ : $- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 8 = 0$ . Дискримінант $D = 36 - 32 = 4$ . Корені: $x_{1} = \frac{6 - 2}{2} = 2$ , $x_{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ .
Для пункту б): Розв'язуємо квадратне рівняння $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ . Дискримінант $D = 169 - 144 = 25$ . Корені: $x_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4$ , $x_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$ .
Для пункту в): Ставимо чисельник на нуль: $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Корені: $x = 1, x = 2$ . Перевіряємо область визначення: $- x - 2$ існує при $- x - 2 > 0 \Rightarrow x < - 2$ . Отримані корені не входять в ОДЗ. Нулів немає.
Для пункту г): Спільний знаменник $(x - 3) (x + 3)$ . Рівняння: $\frac{x ( x + 3 ) - 5 ( x - 3 ) - 18}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 5 x + 15 - 18 = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Корені: $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ . Перевірка ОДЗ: $x \neq = 3$ і $x \neq = - 3$ . Корінь $x = 3$ не підходить.

Відповідь:

а) $2; 4$ ; б) $4; 9$ ; в) немає нулів; г) $- 1$ .

Завдання 443

Нулі функцій різних типів

Знайти нулі функції: а) $y = (x + 2) (x - 2) - 3 (x + 1)^{2} + 3$ ; б) $y = x^{2} - 5 x + 4$ ; в) $y = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{- x - 3}$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкриваємо дужки: $y = x^{2} + 2 x - 2 x - 4 - 3 (x^{2} + 2 x + 1) + 3 = x^{2} - 4 - 3 x^{2} - 6 x - 3 + 3 = - 2 x^{2} - 6 x - 4$ . Ставимо $y = 0$ : $- 2 x^{2} - 6 x - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 2 = 0$ . Корені: $x_{1} = - 1, x_{2} = - 2$ .
Для пункту б): Розв'язуємо квадратне рівняння $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ . Дискримінант $D = 25 - 16 = 9$ . Корені: $x_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ , $x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ .
Для пункту в): Чисельник $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ має корені $x = 2, x = 3$ . Область визначення: $- x - 3$ існує при $- x - 3 > 0 \Rightarrow x < - 3$ . Обидва корені ( $2$ і $3$ ) більші за $- 3$ , тому не входять в ОДЗ.

Відповідь:

а) $- 1; - 2$ ; б) $1; 4$ ; в) немає нулів.

Завдання 444

Відповідність функцій та кількості нулів

Установити відповідність між функціями (1–3) та кількістю їхніх нулів (А–Д).
1. $y = (x - 1) x - 3$ ;
2. $y = \frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{x - 2}$ ;
3. $y = \frac{( x ^{2} - x ) ( x - 2 )}{x ^{2} - 1}$ .

Розв’язання

Для функції 1: $y = (x - 1) x - 3$ . Оскільки $x - 3$ визначено лише при $x \geq 3$ , то множник $(x - 1)$ не може бути нулем ( $x = 1 < 3$ ). Нуль дає корінь з нуля: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Відповідь: один нуль (А).
Для функції 2: Чисельник $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ . Корені чисельника: $\pm 1, \pm 2$ . Знаменник $x - 2 = 0$ при $x = 2$ . Отже, $x = 2$ не є нулем функції. Залишаються корені $x = - 2, x = - 1, x = 1$ . Відповідь: три нулі (В).
Для функції 3: Чисельник $(x^{2} - x) (x - 2) = x (x - 1) (x - 2)$ . Корені чисельника: $0, 1, 2$ . Знаменник $x^{2} - 1 = 0$ при $x = \pm 1$ . Отже, $x = 1$ виключається. Залишаються корені $x = 0$ та $x = 2$ . Відповідь: два нулі (Б).

Відповідь:

1 — А;
2 — В;
3 — Б.