ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 89

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 434–437 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Властивості функцій Functions Properties

Завдання 434

Побудова графіків функцій

а) $y = - 4 x$ ; б) $y = 2 x + 3$ ; в) $y = x^{2} - 4 x + 4$ ; г) $y = \frac{2}{x - 6}$ .

Розв’язання

Функція а) — лінійна ( $y = - 4 x$ ). Нуль: $x = 0, y = 0$ . Точка перетину з віссю $O y$ : $x = 0, y = 0$ . Графік — пряма, що проходить через початок координат.
Функція б) — лінійна ( $y = 2 x + 3$ ). Нуль: $2 x = - 3 \Rightarrow x = - 1, 5$ . Точка перетину з віссю $O y$ : $x = 0, y = 3$ . Графік — пряма через точки $(- 1, 5; 0)$ та $(0; 3)$ .
Функція в) — квадратична ( $y = x^{2} - 4 x + 4$ ). Це повний квадрат: $y = (x - 2)^{2}$ . Вершина параболу: $(2; 0)$ . Графік — парабола, розташована вище осі $O x$ , з вершиною в точці $(2; 0)$ , що дотикається до неї.
Функція г) — раціональна ( $y = \frac{2}{x - 6}$ ). Вертикальна асимптота: $x = 6$ . Горизонтальна асимптота: $y = 0$ . Графік складається з двох гілок гіперболи, що наближаються до асимптот.

Відповідь:

а) пряма через початок координат; б) пряма через $(- 1, 5; 0)$ та $(0; 3)$ ; в) парабола з вершиною $(2; 0)$ ; г) гіпербола з асимптотами $x = 6$ та $y = 0$ .

Завдання 435

Аналіз функції попиту на рибу

Залежність ціни $p$ (грн за кг) від обсягу попиту $K$ (тонн за місяць). Дані таблиці: $(35; 16), (40; 15), (50; 12), (60; 9), (65; 6), (70; 2)$ . Потрібно побудувати графік, знайти область визначення і значень, визначити наявність найменшого/найбільшого значень та монотонність.

Розв’язання

Побудуємо графік, відкладаючи точки $(35; 16), (40; 15), \dots, (70; 2)$ на площині де абсциса — ціна $p$ , ордината — попит $K$ . Точки лежать на одній плавній кривій.
Область визначення функції: множина значень ціни $p$ з таблиці, тобто проміжок $[35; 70]$ .
Область значень функції: множина значень попиту $K$ з таблиці, тобто проміжок $[2; 16]$ .
Найменше значення функції (попиту) дорівнює $2$ , воно досягається при ціні $70$ грн. Найбільше значення — $16$ , воно досягається при ціні $35$ грн.
Оскільки зі збільшенням ціни попит зменшується, функція є спадною на всій області визначення.

Відповідь:

Графік — певна крива (гілка гіперболи). Область визначення: $[35; 70]$ . Область значень: $[2; 16]$ . Найменше значення має ( $2$ ), найбільше ( $16$ ). Функція спадна.

Завдання 436

Дослідження функції концентрації ліків

Функція $C (t) = \frac{10}{t + 1}$ , де $t \geq 0$ — час у годинах, $C (t)$ — концентрація. Потрібно побудувати графік, знайти область визначення і значень, перевірити наявність нулів, визначити монотонність на $[0; + \infty)$ , знайти значення при $t = 1, 3, 7$ та час дії ліків ( $C (t) > 2$ ).

Розв’язання

Область визначення: знаменник $t + 1 \neq = 0$ , тобто $t \neq = - 1$ . Оскільки в умові $t \geq 0$ , то область визначення — проміжок $[0; + \infty)$ .
Область значень: функція не може дорівнювати нулю, оскільки чисельник $10$ відмінний від нуля. Значення змінюється від $\frac{10}{0 + 1} = 10$ до граничного значення $0$ . Отже, область значень — проміжок $(0; 10]$ .
Нулі функції: рівняння $\frac{10}{t + 1} = 0$ не має розв'язків (чисельник не дорівнює нулю). У контексті це означає, що концентрація ліків ніколи не стане рівною нулю за цієї моделі.
Монотонність: при збільшенні $t$ знаменник зростає, тому дріб $\frac{10}{t + 1}$ зменшується. Функція спадає на проміжку $[0; + \infty)$ .
Знайдемо значення: при $t = 1$ , $C (1) = \frac{10}{2} = 5$ ; при $t = 3$ , $C (3) = \frac{10}{4} = 2, 5$ ; при $t = 7$ , $C (7) = \frac{10}{8} = 1, 25$ .
Час дії ліків: розв'яжемо нерівність $\frac{10}{t + 1} > 2$ . Помножимо на $(t + 1)$ (воно додатне): $10 > 2 (t + 1) \Rightarrow 10 > 2 t + 2 \Rightarrow 8 > 2 t \Rightarrow t < 4$ . Враховуючи $t \geq 0$ , час дії — проміжок $[0; 4)$ години.

Відповідь:

Область визначення: $[0; + \infty)$ . Область значень: $(0; 10]$ . Нулів немає. Функція спадає. Значення: $5, 2, 5, 1, 25$ відповідно. Ліки діють протягом $4$ годин.

Завдання 437

Аналіз графіків розвитку органічних господарств

У середині 70-х років Семеном Антонцем започатковано «Агроекологію». На мал. 9.9 показано кількість сертифікованих підприємств (штук) у 2016–2021 роках: 426, 504, 635, 617, 549, 528. На мал. 9.10 — середній розмір господарств (га): 381173, 289000, 309100, 467980, 462225, 422299. Треба проаналізувати графіки, зробити висновки про зміну кількості та розмірів господарств і пояснити причини.

Розв’язання

Проаналізуй мал. 9.9: кількість господарств зросла з 426 (2016) до 635 (2018), потім почала знижуватися, досягнувши 528 у 2021 році.
Проаналізуй мал. 9.10: середній розмір господарств зменшився з 381173 га (2016) до 289000 га (2017), потім різко зріс до 467980 га (2018) і трохи знизився до 422299 га у 2021 році.
Зроби висновок: кількість господарств має тенденцію до зменшення після піку, тоді як розміри підприємств коливаються, але в цілому залишаються значними; це свідчить про консолідацію малого бізнесу або зміни в сертифікації.

Відповідь:

Кількість господарств зросла до 635 у 2018 році, а потім поступово зменшилася до 528 у 2021 році. Середній розмір господарств коливався від 289000 га до 467980 га, маючи пік у 2018 році. Загалом спостерігається тенденція до зменшення кількості підприємств при підтримці їхніх значних розмірів.