ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 88

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 427–433 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Властивості функцій Functions Properties

Завдання 427

Аналіз графіка функції води в річці

На мал. 9.8 зображено графік функції $f (x)$ , що описує рівень води в річці (у метрах) протягом 11 днів весняного паводку. Знайти: а) область визначення і область значень; б) нулі; в) проміжки знакосталості; г) найбільше і найменше значення; ґ) проміжки зростання; д) проміжки спадання.

Розв’язання

Область визначення — це проміжок від початку осі $x$ до кінця, тобто $[- 2; 6]$ . Область значень — від найнижчої точки до найвищої, тобто $[- 3; 2]$ .
Нулі функції (точки перетину з віссю $x$ ) лежать приблизно в точках: $- 1$ , $0, 5$ , $3, 5$ , $4, 8$ .
Функція зростає на проміжках, де графік йде вгору: $[- 2; - 1]$ , $[0, 5; 3, 5]$ , $[4, 8; 6]$ .
Функція спадає на проміжках, де графік йде вниз: $[- 1; 0, 5]$ , $[3, 5; 4, 8]$ .

Відповідь:

а) $D (f) = [- 2; 6]$ , $E (f) = [- 3; 2]$ ; б) нулі приблизно $x_{1} \approx - 1$ , $x_{2} \approx 0, 5$ , $x_{3} \approx 3, 5$ , $x_{4} \approx 4, 8$ ; в) додатна на $[- 2; - 1] \cup [0, 5; 3, 5] \cup [4, 8; 6]$ , від'ємна на $[- 1; 0, 5] \cup [3, 5; 4, 8]$ ; г) максимум $2$ м, мінімум $- 3$ м; ґ) зростає на $[- 2; - 1]$ , $[0, 5; 3, 5]$ , $[4, 8; 6]$ ; д) спадає на $[- 1; 0, 5]$ , $[3, 5; 4, 8]$ .

Завдання 428

Властивості лінійної функції на проміжку

Функцію задано формулою $y = 1, 5 x - 2$ на проміжку $[- 2; 5]$ . Побудувати графік і визначити його властивості.

Розв’язання

Обчислимо значення функції на кінцях проміжку: при $x = - 2$ , $y = 1, 5 \cdot (- 2) - 2 = - 3 - 2 = - 5$ . При $x = 5$ , $y = 1, 5 \cdot 5 - 2 = 7, 5 - 2 = 5, 5$ .
Область визначення — це заданий проміжок: $[- 2; 5]$ . Область значень — від найменшого до найбільшого значення на відрізку: $[- 5; 5, 5]$ .
Нуль функції знайдемо з рівняння $1, 5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{1 , 5} = \frac{4}{3} \approx 1, 33$ . Оскільки ця точка лежить у проміжку $[- 2; 5]$ , нуль існує.
Функція зростає на всій області визначення, оскільки коефіцієнт при $x$ додатний ( $k = 1, 5 > 0$ ).
Найменше значення функції дорівнює $- 5$ , найбільше — $5, 5$ .

Відповідь:

а) $D (f) = [- 2; 5]$ ; б) $E (f) = [- 5; 5, 5]$ ; в) нуль $x = \frac{4}{3}$ ; г) функція додатна на $[\frac{4}{3}; 5]$ , від'ємна на $[- 2; \frac{4}{3}]$ ; д) зростаюча на всій області визначення; е) мінімум $- 5$ , максимум $5, 5$ .

Завдання 429

Властивості квадратичної функції

Побудувати графік функції $y = x^{2}$ на проміжку $[- 1; 3]$ . Визначити властивості.

Розв’язання

Область визначення задана умовою: $D (f) = [- 1; 3]$ .
Область значень знаходимо через мінімальне та максимальне значення на графіку. Мінімальне значення в вершині $(0; 0)$ , тобто $y_{min} = 0$ . Максимальне значення на кінцях проміжку: при $x = - 1$ , $y = 1$ ; при $x = 3$ , $y = 9$ . Отже, $E (f) = [0; 9]$ .
Нулі функції знаходимо з рівняння $x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ . Точка $(0; 0)$ належить проміжку.
Функція спадає на проміжку $[- 1; 0]$ і зростає на проміжку $[0; 3]$ .
Найменше значення функції дорівнює $0$ , найбільше — $9$ (при $x = 3$ ).

Відповідь:

а) $D (f) = [- 1; 3]$ ; б) $E (f) = [0; 9]$ ; в) нуль $x = 0$ ; г) функція додатна на $[- 1; 0) \cup (0; 3]$ , від'ємна не має (оскільки графік вище осі); д) спадає на $[- 1; 0]$ , зростає на $[0; 3]$ ; е) мінімум $0$ , максимум $9$ .

Завдання 430

Перевірка наявності нулів функцій

Дано функції: а) $y = x^{4} + 3$ ; б) $y = x^{2} + x$ ; в) $y = x^{2} - x^{4}$ ; г) $y = x$ ; ґ) $y = 0, 5$ . Потрібно визначити, чи мають вони нулі (точки перетину з віссю $x$ ), і знайти їх координати.

Розв’язання

а) Для функції $y = x^{4} + 3$ прирівнюємо до нуля: $x^{4} + 3 = 0 \Rightarrow x^{4} = - 3$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то і четвертий ступінь також не може бути від'ємним. Рівняння не має розв'язків у дійсних числах.
б) Для функції $y = x^{2} + x$ прирівнюємо до нуля: $x (x + 1) = 0$ . Отримуємо два корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 1$ .
в) Для функції $y = x^{2} - x^{4}$ прирівнюємо до нуля: $x^{2} (1 - x^{2}) = 0$ . Корені: $x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ та $1 - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Нулі: $- 1; 0; 1$ .
г) Для функції $y = x$ прирівнюємо до нуля: $x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
ґ) Для функції $y = 0, 5$ це стала величина, яка ніколи не дорівнює нулю. Нулів немає.

Відповідь:

а) нулів немає; б) нулі: $0, - 1$ ; в) нулі: $- 1, 0, 1$ ; г) нуль: $0$ ; ґ) нулів немає.

Завдання 431

Знаходження коренів лінійних і квадратних рівнянь

Дано функції та потрібно знайти їх нулі (корені): а) $y = 3 - 10 x$ ; б) $y = x^{2} - 4$ ; в) $y = x^{2} - 7 x + 12$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо рівняння $3 - 10 x = 0 \Rightarrow 10 x = 3 \Rightarrow x = 0, 3$ .
б) Розв'язуємо рівняння $x^{2} - 4 = 0$ . Це різниця квадратів: $(x - 2) (x + 2) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 2$ .
в) Розв'язуємо рівняння $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . Шукаємо два числа, сума яких дорівнює $7$ , а добуток — $12$ . Це $3$ і $4$ . Отже, $(x - 3) (x - 4) = 0$ . Корені: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 4$ .

Відповідь:

а) $x = 0, 3$ ; б) $x_{1} = 2, x_{2} = - 2$ ; в) $x_{1} = 3, x_{2} = 4$ .

Завдання 432

Розв'язання квадратного рівняння для ЗНО

Знайти нулі функції $f (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ . Дано варіанти відповідей: А $- 3; 0$ ; Б $- 3; \frac{1}{2}$ ; В $- 3$ ; Г $- \frac{1}{2}; 3$ ; Д $- 1; 6$ .

Розв’язання

Знаходимо дискримінант рівняння $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ : $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$ .
Обчислюємо корені: $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 49}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$ .
Знаходимо перший корінь: $x_{1} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$ .
Знаходимо другий корінь: $x_{2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

Нулі функції: $- \frac{1}{2}; 3$ . Правильна відповідь — Г.

Завдання 433

Знайди проміжки знакосталості функцій

Дано чотири функції: а) $y = 2 x$ ; б) $y = 6 - 12 x$ ; в) $y = x^{2} + 2 x + 1$ ; г) $y = \frac{5}{x - 3}$ . Потрібно знайти проміжки, де функція додатна ( $y > 0$ ), та проміжки, де вона від'ємна ( $y < 0$ ).

Розв’язання

Варіант а) $y = 2 x$ . Нуль функції: $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Графік — пряма, що проходить через початок координат. При $x > 0$ графік вище осі ( $+$ ), при $x < 0$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(0; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 0)$ .
Варіант б) $y = 6 - 12 x$ . Нуль функції: $6 - 12 x = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Це лінійна функція зі спаданням ( $k = - 12$ ). При $x < 0, 5$ графік вище осі ( $+$ ), при $x > 0, 5$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(- \infty; 0, 5)$ .
- Від'ємна на $(0, 5; + \infty)$ .
Варіант в) $y = x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Це квадратична функція з вершиною в точці $(- 1; 0)$ , яка розкривається вгору. Графік лежить вище осі $O x$ всюди, крім точки перетину з віссю $x = - 1$ , де він дорівнює нулю.
- Додатна на $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
- Від'ємна не має таких проміжків (функція $\geq 0$ ).
Варіант г) $y = \frac{5}{x - 3}$ . Точка, де функція не визначена: $x = 3$ . Знаменник додатний при $x > 3$ , від'ємний при $x < 3$ . Чисельник ( $5$ ) завжди додатний.
- Додатна на $(3; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 3)$ .

Відповідь:

а) Додатна на $(0; + \infty)$ , від'ємна на $(- \infty; 0)$ .
б) Додатна на $(- \infty; 0, 5)$ , від'ємна на $(0, 5; + \infty)$ .
в) Додатна на $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ , від'ємна не має проміжків.
г) Додатна на $(3; + \infty)$ , від'ємна на $(- \infty; 3)$ .