ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 87

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 417–426 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Властивості функцій Functions Properties

Завдання 417

Гра-рольова гра з функціями

Один учень обирає малюнок 9.6 (графік), другий називає властивість функції, третій описує функцію за графіком. Потім ролі міняються.

Розв’язання

Розглянь перший графік (ліва частина): це парабола, що розташована вгорі осі y, має два нулі приблизно на -2 і 3, вершина між ними.
Розглянь другий графік (середина): це синусоїда або інша періодична функція, що проходить через початок координат, має максимуми та мінімуми.
Розглянь третій графік (права частина): це складена функція, що зростає до певної точки, спадає, а потім знову зростає.

Відповідь:

Гра-рольова гра для тренування навичок читання графіків та опису властивостей функцій.

Завдання 418

Область визначення функцій

а) $y = - 7 x + 3$ ; б) $y = x^{2} - 4$ ; в) $y = x + 4$ ; г) $y = \frac{3}{x + 9}$ ; ґ) $y = \frac{- 1}{x ^{2} + 4}$ ; д) $y = \frac{x}{1 - x}$ .

Розв’язання

а) Це лінійна функція (многочлен), тому область визначення — всі дійсні числа.
б) Це квадратична функція (многочлен), тому область визначення — всі дійсні числа.
в) Під коренем має бути $x + 4 \geq 0$ , звідси $x \geq - 4$ .
г) Знаменник не може дорівнювати нулю: $x + 9 \neq = 0$ , отже $x \neq = - 9$ .
ґ) Знаменник $x^{2} + 4$ завжди додатний для будь-якого дійсного $x$ , тому обмежень немає, область визначення — всі дійсні числа.
д) Знаменник не може дорівнювати нулю: $1 - x \neq = 0$ , отже $x \neq = 1$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; + \infty)$ ; в) $[- 4; + \infty)$ ; г) $(- \infty; - 9) \cup (- 9; + \infty)$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 419

Область визначення функцій

а) $y = 2 x + 9$ ; б) $y = 6 - 2 x$ ; в) $y = \frac{3 + x}{x ^{2} - 16}$ .

Розв’язання

а) Це лінійна функція (многочлен), тому область визначення — всі дійсні числа.
б) Під коренем має бути $6 - 2 x \geq 0$ . Розв'яжемо нерівність: $- 2 x \geq - 6$ , ділимо на -2 і змінюємо знак нерівності: $x \leq 3$ .
в) Знаменник не може дорівнювати нулю: $x^{2} - 16 \neq = 0$ . Розв'яжемо рівняння $x^{2} = 16$ , отримавши $x = \pm 4$ . Отже, $x \neq = 4$ і $x \neq = - 4$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 3]$ ; в) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; 4) \cup (4; + \infty)$ .

Завдання 420

Область визначення та значень лінійних функцій

Знайти область визначення (ОД) і область значень (ОЗ) для функцій: а) $y = 0, 01 x$ ; б) $y = x^{2} + 2$ ; в) $y = x - 3$ .

Розв’язання

Для $y = 0, 01 x$ це лінійна функція, тому ОД — всі дійсні числа ( $R$ ), ОЗ — $R$ .
Для $y = x^{2} + 2$ це парабола, що розкривається вгору ( $a = 1 > 0$ ). Мінімальне значення функції дорівнює $c = 2$ , отже ОЗ — $[2; + \infty)$ .
Для $y = x - 3$ підкореневий вираз $x \geq 0$ , тому ОД — $[0; + \infty)$ . Функція зростає, отже мінімальне значення при $x = 0$ дорівнює $- 3$ , ОЗ — $[- 3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) ОД: $R$ , ОЗ: $R$ ; б) ОД: $R$ , ОЗ: $[2; + \infty)$ ; в) ОД: $[0; + \infty)$ , ОЗ: $[- 3; + \infty)$ .

Завдання 421

Область визначення та значень функцій різних типів

Знайти область визначення (ОД) і область значень (ОЗ) для функцій: а) $y = x^{3}$ ; б) $y = 2 x^{2} - 5$ ; в) $y = x + 1$ .

Розв’язання

Для $y = x^{3}$ це кубічна функція, тому ОД — $R$ , ОЗ — $R$ .
Для $y = 2 x^{2} - 5$ це парабола з мінімумом при $x = 0$ , значення якого $- 5$ , отже ОД — $R$ , ОЗ — $[- 5; + \infty)$ .
Для $y = x + 1$ умова $x \geq 0$ (ОД: $[0; + \infty)$ ). При $x = 0$ значення функції дорівнює $1$ , і воно зростає, отже ОЗ — $[1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) ОД: $R$ , ОЗ: $R$ ; б) ОД: $R$ , ОЗ: $[- 5; + \infty)$ ; в) ОД: $[0; + \infty)$ , ОЗ: $[1; + \infty)$ .

Завдання 422

Область визначення та значень квадратичних і модульних функцій

Знайти область визначення (ОД) і область значень (ОЗ) для функцій: а) $y = x^{2} - 1$ ; б) $y = \frac{2 - x}{3}$ ; в) $y = ∣ x ∣ + 3$ .

Розв’язання

Для $y = x^{2} - 1$ це парабола з мінімумом $- 1$ , отже ОД: $R$ , ОЗ: $[- 1; + \infty)$ .
Для $y = \frac{2 - x}{3}$ це лінійна функція (можна переписати як $- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ ), тому ОД: $R$ , ОЗ: $R$ .
Для $y = ∣ x ∣ + 3$ мінімальне значення модуля — це $0$ , отже мінімум функції $3$ , ОД: $R$ , ОЗ: $[3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) ОД: $R$ , ОЗ: $[- 1; + \infty)$ ; б) ОД: $R$ , ОЗ: $R$ ; в) ОД: $R$ , ОЗ: $[3; + \infty)$ .

Завдання 423

Область визначення та значень функцій

Знайти область визначення (ОД) і область значень (ОЗ) для функцій: а) $y = 1 - x$ ; б) $y = \frac{x + 5}{5}$ ; в) $y = ∣ x ∣ + 2$ .

Розв’язання

а) Підкореневий вираз $x \geq 0$ , отже ОД: $[0; + \infty)$ . Функція спадає, мінімум при $x = 0$ ( $y = 1$ ), отже ОЗ: $(- \infty; 1]$ — помилка в логіці кроку, виправляю: функція $x$ зростає, тому $- x$ спадає. Максимум при $x = 0$ ( $y = 1$ ), значення йде в $- \infty$ . ОЗ: $(- \infty; 1]$ .
б) Знаменник $5 \neq = 0$ , отже ОД: $(- \infty; + \infty)$ . Функція лінійна, ОЗ: $(- \infty; + \infty)$ .
в) $∣ x ∣ \geq 0$ , тому $∣ x ∣ + 2 \geq 2$ . ОД: $(- \infty; + \infty)$ , ОЗ: $[2; + \infty)$ .

Відповідь:

а) ОД: $[0; + \infty)$ , ОЗ: $(- \infty; 1]$ ; б) ОД: $(- \infty; + \infty)$ , ОЗ: $(- \infty; + \infty)$ ; в) ОД: $(- \infty; + \infty)$ , ОЗ: $[2; + \infty)$ .

Завдання 424

Зростаючі та спадні функції

Визначити монотонність функцій на всій області визначення: а) $y = 2 x$ ; б) $y = - x - 2$ ; в) $y = x^{3}$ ; г) $y = \frac{2 x}{x}$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт $k = 2 > 0$ , отже функція зростає.
б) Коефіцієнт $k = - 1 < 0$ , отже функція спадає.
в) Функція $y = x^{3}$ є кубічною, вона зростає на всій області визначення.
г) Спростимо дріб: $\frac{2 x}{x} = 2$ (при $x \neq = 0$ ). Це стала функція, яка не зростає і не спадає (або вважається одночасно і тією, і іншою, але зазвичай кажуть «не є строго монотонною»).

Відповідь:

а) зростає; б) спадає; в) зростає; г) не є зростаючою чи спадною (стала).

Завдання 425

Перевірка монотонності функцій

Визначити, чи є функція зростаючою чи спадною: а) $y = - \frac{2}{5} x + 3$ ; б) $y = \frac{5 x}{2}$ ; в) $y = x$ ; г) $y = \frac{- x}{5 x}$ .

Розв’язання

а) Коефіцієнт при $x$ від'ємний ( $- \frac{2}{5}$ ), отже функція спадає.
б) Коефіцієнт при $x$ додатний ( $\frac{5}{2}$ ), отже функція зростає.
в) Функція $y = x$ визначена для $x \geq 0$ і збільшується зі збільшенням аргументу, отже зростає.
г) Спростимо дріб: $\frac{- x}{5 x} = - \frac{1}{5}$ (при $x \neq = 0$ ). Це стала функція, яка не є ні зростаючою, ні спадною.

Відповідь:

а) спадає; б) зростає; в) зростає; г) не є зростаючою чи спадною (стала).

Завдання 426

Графік функції

y = f (x)

На мал. 9.7 (с. 88) зображено графік функції $y = f (x)$ . Завдання не пронумеровані на сторінці 87, але продовжуються на с. 88. За умовою завдання 426 потрібно проаналізувати графік, зображений на мал. 9.7 (с. 88).

Розв’язання

Потрібно побачити мал. 9.7 на сторінці 88, щоб визначити координати точок перетину з осями та крайні точки графіка.
Визначити область визначення за межами графіка по осі $x$ .
Визначити область значень за межами графіка по осі $y$ .
Знайти нулі (точки перетину з віссю $x$ ).
Визначити проміжки, де $y > 0$ , $y < 0$ .
Визначити проміжки зростання та спадання за напрямком графіка.

Відповідь:

Для розв'язання завдання 426 необхідно побачити мал. 9.7, який не надано в тексті (він знаходиться на с. 88). Без координатної сітки цього малюнка визначити область визначення, область значень, нулі та проміжки знакосталості неможливо.