Завдання 454, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 454

Параметричний квадратний рівняння з одним коренем

Знайти всі значення параметра $a$ , при яких функція $y = x^{2} + (a - 3) x + 2 a^{2} - a$ має лише один нуль.

Розв’язання

Запишемо коефіцієнти квадратного тричлена: $A = 1$ , $B = a - 3$ , $C = 2 a^{2} - a$ .
Обчислимо дискримінант за формулою $D = B^{2} - 4 A C$ :
$D = (a - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a^{2} - a)$
$D = (a^{2} - 6 a + 9) - (8 a^{2} - 4 a)$
$D = a^{2} - 6 a + 9 - 8 a^{2} + 4 a$
$D = - 7 a^{2} - 2 a + 9$
Прирівняємо дискримінант до нуля: $- 7 a^{2} - 2 a + 9 = 0$ . Помножимо рівняння на $- 1$ , щоб спростити розв'язання: $7 a^{2} + 2 a - 9 = 0$ .
Знайдемо корені цього квадратного рівняння за формулою $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D _{1}}{2 a}$ (де $a = 7, b = 2, c = - 9$ ):
$D_{1} = 2^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 9) = 4 + 252 = 256$
$D_{1} = 16$
$a_{1} = \frac{- 2 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{- 18}{14} = - \frac{9}{7}$
$a_{2} = \frac{- 2 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Відповідь:

$a = 1$ або $a = - \frac{9}{7}$

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 454 с. 91

Параметричний квадратний рівняння з одним коренем

Умова

Знайти всі значення параметра $a$ , при яких функція $y = x^{2} + (a - 3) x + 2 a^{2} - a$ має лише один нуль.

Що треба знати

Квадратне рівняння має єдиний корінь тоді й тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю ( $D = 0$ ). Дискримінант обчислюється за формулою $D = b^{2} - 4 a c$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визнач коефіцієнти $a, b, c$ для даного рівняння. Потім запиши вираз для дискримінанта та прирівняй його до нуля. Розв'яжи отримане рівняння відносно параметра $a$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо коефіцієнти квадратного тричлена: $A = 1$ , $B = a - 3$ , $C = 2 a^{2} - a$ .
Обчислимо дискримінант за формулою $D = B^{2} - 4 A C$ :
$D = (a - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a^{2} - a)$
$D = (a^{2} - 6 a + 9) - (8 a^{2} - 4 a)$
$D = a^{2} - 6 a + 9 - 8 a^{2} + 4 a$
$D = - 7 a^{2} - 2 a + 9$
Прирівняємо дискримінант до нуля: $- 7 a^{2} - 2 a + 9 = 0$ . Помножимо рівняння на $- 1$ , щоб спростити розв'язання: $7 a^{2} + 2 a - 9 = 0$ .
Знайдемо корені цього квадратного рівняння за формулою $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D _{1}}{2 a}$ (де $a = 7, b = 2, c = - 9$ ):
$D_{1} = 2^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 9) = 4 + 252 = 256$
$D_{1} = 16$
$a_{1} = \frac{- 2 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{- 18}{14} = - \frac{9}{7}$
$a_{2} = \frac{- 2 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Відповідь:

$a = 1$ або $a = - \frac{9}{7}$

Розбір зрозумілий?