Завдання 452, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 452

Знаходження недодатних значень функцій

Для кожної функції знайти проміжки $x$ , на яких $y \leq 0$ : а) $y = 5 x - 1$ ; б) $y = x - 4$ ; в) $y = (x + 1) (2 - x)$ ; г) $y = (x + 2)^{3}$ ; ґ) $y = \frac{6 + 2 x}{x}$ ; д) $y = \frac{1}{x - 1} - 1$ .

Розв’язання

а) Знайдемо нуль: $5 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 2$ . Функція зростає, тому недодатна при $x \leq 0, 2$ .
б) Область визначення: $x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$ . Корінь завжди $\geq 0$ , тому функція набуває нуль лише в точці $x = 4$ і не може бути від'ємною. Відповідь: $x = 4$ .
в) Знайдемо корені: $(x + 1) (2 - x) = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ . Це парабола з відкриттям вниз ( $a < 0$ ), тому недодатна між коренями: $- 1 \leq x \leq 2$ .
г) Функція кубічна, нуль у точці $x = - 2$ . При $x > - 2$ функція додатна, при $x < - 2$ — від'ємна. Відповідь: $x \leq - 2$ .
ґ) Область визначення: $x \neq = 0$ . Знайдемо нуль чисельника: $6 + 2 x = 0 \Rightarrow x = - 3$ . При $x < - 3$ чисельник від'ємний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб додатний. При $- 3 < x < 0$ чисельник додатний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб недодатний.
д) Спростимо: $\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{1 - ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2 - x}{x - 1}$ . Нулі чисельника та знаменника: $x = 2$ і $x = 1$ . Перевірка знаків показує, що функція недодатна при $1 < x \leq 2$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 0, 2]$ ; б) $x = 4$ ; в) $x \in [- 1; 2]$ ; г) $x \in (- \infty; - 2]$ ; ґ) $x \in (- 3; 0)$ ; д) $x \in (1; 2]$ .

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 452 с. 91

Знаходження недодатних значень функцій

Умова

Що треба знати

Недодатні значення відповідають частині графіка, що знаходиться на осі або нижче осі $O x$ ( $y \leq 0$ ). Для кореня квадратного числа результат завжди $\geq 0$ , тому для недодатних значень має бути рівно нуль.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди нулі функції та визнач, де графік знаходиться нижче або на осі $O x$ . Зверни увагу на область визначення кореня та дробу.

Розв’язання крок за кроком

а) Знайдемо нуль: $5 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 2$ . Функція зростає, тому недодатна при $x \leq 0, 2$ .
б) Область визначення: $x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$ . Корінь завжди $\geq 0$ , тому функція набуває нуль лише в точці $x = 4$ і не може бути від'ємною. Відповідь: $x = 4$ .
в) Знайдемо корені: $(x + 1) (2 - x) = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ . Це парабола з відкриттям вниз ( $a < 0$ ), тому недодатна між коренями: $- 1 \leq x \leq 2$ .
г) Функція кубічна, нуль у точці $x = - 2$ . При $x > - 2$ функція додатна, при $x < - 2$ — від'ємна. Відповідь: $x \leq - 2$ .
ґ) Область визначення: $x \neq = 0$ . Знайдемо нуль чисельника: $6 + 2 x = 0 \Rightarrow x = - 3$ . При $x < - 3$ чисельник від'ємний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб додатний. При $- 3 < x < 0$ чисельник додатний, знаменник від'ємний $\Rightarrow$ дріб недодатний.
д) Спростимо: $\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{1 - ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2 - x}{x - 1}$ . Нулі чисельника та знаменника: $x = 2$ і $x = 1$ . Перевірка знаків показує, що функція недодатна при $1 < x \leq 2$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 0, 2]$ ; б) $x = 4$ ; в) $x \in [- 1; 2]$ ; г) $x \in (- \infty; - 2]$ ; ґ) $x \in (- 3; 0)$ ; д) $x \in (1; 2]$ .

Розбір зрозумілий?