Завдання 451, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 451

Знаходження додатних значень функцій

Для кожної функції знайти проміжки, на яких $y > 0$ .
а) $y = - 2 x + 5$ ; б) $y = 0, 5 x - 3$ ; в) $y = x^{2} - 3 x + 2$ ;
г) $y = x + 4$ ; ґ) $y = \frac{3 x - 9}{x}$ ; д) $y = \frac{x}{x + 1} + 1$ .

Розв’язання

Пункт а): Розв'язуємо рівняння $- 2 x + 5 = 0$ , отримуємо $x = 2, 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x$ від'ємний ( $k = - 2 < 0$ ), функція зростає до нескінченності праворуч. Отже, $y > 0$ при $x < 2, 5$ .
Пункт б): Рівняння $0, 5 x - 3 = 0$ дає $x = 6$ . Коефіцієнт додатний ( $k = 0, 5 > 0$ ), тому графік вище осі для $x > 6$ .
Пункт в): Знаходимо корені квадратного тричлена: $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Графік параболи розкривається вгору ( $a > 0$ ), тому додатні значення при $x < 1$ або $x > 2$ .
Пункт г): Область визначення: $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 4$ . При таких $x$ вираз під коренем додатний, отже функція додатна на всій області визначення: $[- 4; + \infty)$ .
Пункт ґ): Область визначення: $x \neq = 0$ . Розкладаємо чисельник: $3 (x - 3)$ . Знак дробу залежить від знаків чисельника та знаменника. Чисельник додатний при $x > 3$ і від'ємний при $x < 3$ . Отже, дріб додатний, коли обидва множники мають однаковий знак:
- ${x - 3 > 0 x > 0 \Rightarrow x > 3$ ;
- ${x - 3 < 0 x < 0 \Rightarrow x < 3$ і $x < 0$ , тобто $x < 0$ .
Відповідно: $(- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$ .
Пункт д): Спростимо вираз: $\frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ . Область визначення: $x \neq = - 1$ . Знайдемо нулі чисельника: $2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 0, 5$ .
Проаналізуємо знаки:
- При $x > - 0, 5$ (наприклад, $x = 0$ ): $\frac{+}{+} = +$ .
- При $- 1 < x < - 0, 5$ (наприклад, $x = - 0, 75$ ): чисельник $(-)$ , знаменник $(+)$ $\Rightarrow (-)$ .
- При $x < - 1$ : чисельник $(-)$ , знаменник $(-)$ $\Rightarrow (+)$ .
Додатні значення: $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; 2, 5)$ ; б) $(6; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ ; г) $[- 4; + \infty)$ ; ґ) $(- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$ ; д) $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 451 с. 91

Знаходження додатних значень функцій

Умова

Що треба знати

Додатне значення функції ( $y > 0$ ) відповідає точкам, що лежать вище осі абсцис на графіку. Для лінійних функцій це проміжок між нулем і нескінченністю (залежно від знаку коефіцієнта при $x$ ). Для квадратних — проміжки між коренями або за межами їх. Дробові та радикальні вирази потребують перевірки умови визначення та знаку чисельника/знаменника.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайди нулі функції ( $y = 0$ ), а потім визнач, де графік розташований вище осі $O x$ . Для дробів уважно дивись на знаки чисельника та знаменника.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а): Розв'язуємо рівняння $- 2 x + 5 = 0$ , отримуємо $x = 2, 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x$ від'ємний ( $k = - 2 < 0$ ), функція зростає до нескінченності праворуч. Отже, $y > 0$ при $x < 2, 5$ .
Пункт б): Рівняння $0, 5 x - 3 = 0$ дає $x = 6$ . Коефіцієнт додатний ( $k = 0, 5 > 0$ ), тому графік вище осі для $x > 6$ .
Пункт в): Знаходимо корені квадратного тричлена: $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Графік параболи розкривається вгору ( $a > 0$ ), тому додатні значення при $x < 1$ або $x > 2$ .
Пункт г): Область визначення: $x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 4$ . При таких $x$ вираз під коренем додатний, отже функція додатна на всій області визначення: $[- 4; + \infty)$ .
Пункт ґ): Область визначення: $x \neq = 0$ . Розкладаємо чисельник: $3 (x - 3)$ . Знак дробу залежить від знаків чисельника та знаменника. Чисельник додатний при $x > 3$ і від'ємний при $x < 3$ . Отже, дріб додатний, коли обидва множники мають однаковий знак:
- ${x - 3 > 0 x > 0 \Rightarrow x > 3$ ;
- ${x - 3 < 0 x < 0 \Rightarrow x < 3$ і $x < 0$ , тобто $x < 0$ .
Відповідно: $(- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$ .
Пункт д): Спростимо вираз: $\frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ . Область визначення: $x \neq = - 1$ . Знайдемо нулі чисельника: $2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 0, 5$ .
Проаналізуємо знаки:
- При $x > - 0, 5$ (наприклад, $x = 0$ ): $\frac{+}{+} = +$ .
- При $- 1 < x < - 0, 5$ (наприклад, $x = - 0, 75$ ): чисельник $(-)$ , знаменник $(+)$ $\Rightarrow (-)$ .
- При $x < - 1$ : чисельник $(-)$ , знаменник $(-)$ $\Rightarrow (+)$ .
Додатні значення: $(- \infty; - 1) \cup (- 0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?