Завдання 446, § 9. Властивості функцій Functions Properties

Розв’язання крок за кроком

1. Для пункту а):
   - При $x<-2$: гіпербола $y=\frac{6}{x}$. Точка $(-2;-3)$. Гілка ліворуч, прямує до асимптот.
   - При $-2\le x\le 2$: пряма $y=1,5x$. Проходить через початок координат. Точки $(-2;-3)$ та $(2;3)$. Малюємо відрізок.
   - При $x>2$: гіпербола $y=\frac{6}{x}$. Точка $(2;3)$. Гілка праворуч, прямує до асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;+\infty )$ (оскільки пряма проходить через 0 і йде вгору/вниз). Нулі: $x=0$ (друга частина). Знакосталість: спадає на $(-\infty ;-2)$, зростає на $[-2;2]$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше/найменше значення: не існує (функція необмежена).

2. Для пункту б):
   - При $x\le -3$: пряма $y=3x+18$. Точки $(-3;9)$ та $(-6;0)$. Малюємо проміжок ліворуч від точки $(-3;9)$.
   - При $-3<x<2$: парабола $y=x^2$. Вершина $(0;0)$, точки $(-3;9)$ та $(2;4)$. Малюємо дугу між ними (без точок на кінцях).
   - При $x\ge 2$: гіпербола $y=\frac{8}{x}$. Точка $(2;4)$. Гілка праворуч від асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $[0;+\infty )$ (парабола та гіпербола додатні, пряма на проміжку $x\le -3$ дає значення до 9). Нулі: немає (параболі вершина в 0, але вона не перетинає вісь інше рази, пряма при $x=-6$ дає 0, але це не нуль функції в сенсі кореня рівняння $y=0$, а просто точка на графіку). Нулі функції: $x=-6$ (перша частина), $x=0$ (друга частина). Знакосталість: зростає на $(-\infty ;-3]$, спадає на $[-3;0]$, зростає на $[0;2)$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше значення: не існує. Найменше значення: $0$ (у точці $x=0$).