Завдання 445, § 9. Властивості функцій Functions Properties

Розв’язання крок за кроком

1. Для пункту а):
   - При $x<-3$: це пряма $y=x+7$. Точка перетину з віссю $Ox$: $x=-7$, з віссю $Oy$: $(0;7)$. Оскільки $x<-3$, відмічаємо проміжок ліворуч від точки $(-3;4)$ (кринка).
   - При $-3\le x\le 1$: це пряма $y=-2x-2$. Точки: $(-3;4)$ та $(1;-4)$. Малюємо відрізок між ними.
   - При $x>1$: гіпербола $y=-\frac{4}{x}$. Асимптоти — осі координат. Точка $(2;-2)$. Відмічаємо гілку гіперболи праворуч від точки $(1;-4)$, що прямує до асимптот.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;7]$. Нулі: $x=-7$ (перша частина), $x=-1$ (друга частина). Знакосталість: зростає на $(-\infty ;-3)$, спадає на $[-3;1)$ та $(0;1]$, спадає на $(1;+\infty )$. Найбільше значення: $7$ (у точці $x=-3$).

2. Для пункту б):
   - При $x\le -2$: гіпербола $y=\frac{8}{x}$. Точка $(-2;-4)$. Гілка ліворуч від асимптот.
   - При $-2<x<2$: парабола $y=-x^2$. Вершина $(0;0)$, точки $(-2;-4)$ та $(2;-4)$. Малюємо дугу між ними (без точок на кінцях).
   - При $x\ge 2$: пряма $y=x-6$. Точка $(2;-4)$. Відмічаємо проміжок праворуч від точки $(2;-4)$, що йде вгору.
   - Область визначення: $(-\infty ;+\infty )$. Область значень: $(-\infty ;0]$. Нулі: немає (перша частина не перетинає вісь на проміжку, друга — вершина в 0, третя — ні). Знакосталість: спадає на $(-\infty ;-2)$, спадає на $(-2;0]$, зростає на $(0;2)$, спадає на $(2;+\infty )$. Найбільше значення: $0$ (у точці $x=0$).