Завдання 433, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 433

Знайди проміжки знакосталості функцій

Дано чотири функції: а) $y = 2 x$ ; б) $y = 6 - 12 x$ ; в) $y = x^{2} + 2 x + 1$ ; г) $y = \frac{5}{x - 3}$ . Потрібно знайти проміжки, де функція додатна ( $y > 0$ ), та проміжки, де вона від'ємна ( $y < 0$ ).

Розв’язання

Варіант а) $y = 2 x$ . Нуль функції: $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Графік — пряма, що проходить через початок координат. При $x > 0$ графік вище осі ( $+$ ), при $x < 0$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(0; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 0)$ .
Варіант б) $y = 6 - 12 x$ . Нуль функції: $6 - 12 x = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Це лінійна функція зі спаданням ( $k = - 12$ ). При $x < 0, 5$ графік вище осі ( $+$ ), при $x > 0, 5$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(- \infty; 0, 5)$ .
- Від'ємна на $(0, 5; + \infty)$ .
Варіант в) $y = x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Це квадратична функція з вершиною в точці $(- 1; 0)$ , яка розкривається вгору. Графік лежить вище осі $O x$ всюди, крім точки перетину з віссю $x = - 1$ , де він дорівнює нулю.
- Додатна на $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
- Від'ємна не має таких проміжків (функція $\geq 0$ ).
Варіант г) $y = \frac{5}{x - 3}$ . Точка, де функція не визначена: $x = 3$ . Знаменник додатний при $x > 3$ , від'ємний при $x < 3$ . Чисельник ( $5$ ) завжди додатний.
- Додатна на $(3; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 3)$ .

Відповідь:

а) Додатна на $(0; + \infty)$ , від'ємна на $(- \infty; 0)$ .
б) Додатна на $(- \infty; 0, 5)$ , від'ємна на $(0, 5; + \infty)$ .
в) Додатна на $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ , від'ємна не має проміжків.
г) Додатна на $(3; + \infty)$ , від'ємна на $(- \infty; 3)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 433 с. 88

Знайди проміжки знакосталості функцій

Умова

Що треба знати

Знак функції визначається положенням її графіка щодо осі $O x$ . Якщо графік вище осі — функція додатна. Якщо нижче — від'ємна. Для раціональних функцій знаменник не може дорівнювати нулю.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь кожен випадок окремо. Знайди корені рівняння $y = 0$ (нулі функції) та точки, де функція не визначена. Визнач знаки на проміжках між цими точками.

Розв’язання крок за кроком

Варіант а) $y = 2 x$ . Нуль функції: $2 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Графік — пряма, що проходить через початок координат. При $x > 0$ графік вище осі ( $+$ ), при $x < 0$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(0; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 0)$ .
Варіант б) $y = 6 - 12 x$ . Нуль функції: $6 - 12 x = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Це лінійна функція зі спаданням ( $k = - 12$ ). При $x < 0, 5$ графік вище осі ( $+$ ), при $x > 0, 5$ — нижче ( $-$ ).
- Додатна на $(- \infty; 0, 5)$ .
- Від'ємна на $(0, 5; + \infty)$ .
Варіант в) $y = x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Це квадратична функція з вершиною в точці $(- 1; 0)$ , яка розкривається вгору. Графік лежить вище осі $O x$ всюди, крім точки перетину з віссю $x = - 1$ , де він дорівнює нулю.
- Додатна на $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .
- Від'ємна не має таких проміжків (функція $\geq 0$ ).
Варіант г) $y = \frac{5}{x - 3}$ . Точка, де функція не визначена: $x = 3$ . Знаменник додатний при $x > 3$ , від'ємний при $x < 3$ . Чисельник ( $5$ ) завжди додатний.
- Додатна на $(3; + \infty)$ .
- Від'ємна на $(- \infty; 3)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?