Дано функції: а) y=x4+3; б) y=x2+x; в) y=x2−x4; г) y=x; ґ) y=0,5. Потрібно визначити, чи мають вони нулі (точки перетину з віссю x), і знайти їх координати.
Розв’язання
а) Для функції y=x4+3 прирівнюємо до нуля: x4+3=0⇒x4=−3. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то і четвертий ступінь також не може бути від'ємним. Рівняння не має розв'язків у дійсних числах.
б) Для функції y=x2+x прирівнюємо до нуля: x(x+1)=0. Отримуємо два корені: x1=0, x2=−1.
в) Для функції y=x2−x4 прирівнюємо до нуля: x2(1−x2)=0. Корені: x2=0⇒x=0 та 1−x2=0⇒x2=1⇒x=±1. Нулі: −1;0;1.
г) Для функції y=x прирівнюємо до нуля: x=0⇒x=0.
ґ) Для функції y=0,5 це стала величина, яка ніколи не дорівнює нулю. Нулів немає.
§ 9. Властивості функцій Functions PropertiesЗавдання 430с. 88
Перевірка наявності нулів функцій
Умова
Дано функції: а) y=x4+3; б) y=x2+x; в) y=x2−x4; г) y=x; ґ) y=0,5. Потрібно визначити, чи мають вони нулі (точки перетину з віссю x), і знайти їх координати.
Що треба знати
Нулем функції називають значення аргументу x, при якому значення функції дорівнює нулю (y=0). Якщо рівняння f(x)=0 не має розв'язків, то графік функції не перетинає вісь абсцис.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Прирівняй кожне вираз до нуля і спробуй знайти відповідне значення x. Зверни увагу на знаки у всіх членах рівнянь.
Розв’язання крок за кроком
а) Для функції y=x4+3 прирівнюємо до нуля: x4+3=0⇒x4=−3. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то і четвертий ступінь також не може бути від'ємним. Рівняння не має розв'язків у дійсних числах.
б) Для функції y=x2+x прирівнюємо до нуля: x(x+1)=0. Отримуємо два корені: x1=0, x2=−1.
в) Для функції y=x2−x4 прирівнюємо до нуля: x2(1−x2)=0. Корені: x2=0⇒x=0 та 1−x2=0⇒x2=1⇒x=±1. Нулі: −1;0;1.
г) Для функції y=x прирівнюємо до нуля: x=0⇒x=0.
ґ) Для функції y=0,5 це стала величина, яка ніколи не дорівнює нулю. Нулів немає.
