Завдання 401, § 8. Функції Functions

Розв’язання крок за кроком

1. Для пункту а): Область визначення складається з трьох частин: $(-\infty ;1]$, $(1;4)$ та $[4;+\infty )$. Оскільки ці проміжки перекриваються в точці 1 (перший відрізок включає 1, другий — ні), але не мають пропусків, то область визначення — це всі дійсні числа.
   Перевіримо значення в точці $x=1$: за першою формулою $y=1+1=2$, за другою (при підстановці межі) $3-1=2$. Функція безперервна.
   Область визначення: $D=(-\infty ;+\infty )$.

2. Для пункту б): Перший і третій відрізки задаються однією формулою $\frac{6}{x}$. Ця функція не має сенсу при $x=0$. Другий відрізок $[-2;2]$ включає нуль. Отже, у точці $x=0$ вираз $\frac{6}{x}$ не визначений, але в умові другого випадку формула інша ($1,5x$).
   Однак, якщо при $x=0$ ми використовуємо другу гілку, то значення існує. Але перші та треті гілки виключають нуль. Друга гілка включає його. Отже, функція визначена всюди, крім випадку, коли бачимо $\frac{6}{x}$ при $x=0$, але це неможливо, бо для $x=0$ діє друга формула.
   Перевіримо умови: $x<-2$ (не містить 0), $-2\le x\le 2$ (містить 0), $x>2$ (не містить 0). Отже, функція визначена для всіх $x$, крім випадків, де $\frac{6}{x}$ використовується при $x=0$. Але це неможливо.
   Однак, якщо розглядати графічно: гіпербола має асимптоту $x=0$. У проміжку $[-2;2]$ функція лінійна, тому вона проходить через початок координат. Отже, функція визначена для всіх дійсних чисел.