Сторінка 80

Розв’язання

1. Варіант а): Підкореневий вираз $x+4\ge 0$, тобто $x\ge -4$. Знаменник $x^2-16\ne 0$, отже $x\ne \pm 4$. Функція не є парною, тому область значень — це всі додатні числа.

2. Варіант б): Підкореневий вираз $x(x^2+2)\ge 0$ дає $x\ge 0$. Знаменник $|x|-2\ne 0$, тобто $x\ne 2$. Оскільки область визначення обмежена знизу нулем, а функція не є парною (через модуль), значення можуть бути будь-якими додатними.

3. Варіант в): Підкореневий вираз $x^2-10x+26$ — це квадратний тричлен. Його дискримінант $D=100-4\cdot 26<0$, а коефіцієнт при $x^2$ додатній, отже вираз завжди додатний і ніколи не дорівнює нулю. Мінімум досягається в вершині параболи.

Розв’язання

1. Варіант а): Це парабола з віссю симетрії $x=0$, що розкривається вгору ($a=1>0$). Мінімальне значення при $x=0$: $y_{min}=0^2+9=9$.

2. Варіант б): Область визначення $x\ge 0$. Функція зростає на всій області, тому мінімум досягається при найменшому $x=0$: $y_{min}=\sqrt{0}-7=-7$.

3. Варіант в): Це V-подібна функція з максимумом у точці $x=0$ (де модуль дорівнює нулю). Максимальне значення: $y_{max}=3-|0|=3$. Функція розкривається вниз.

Розв’язання

1. Варіант а): Область визначення $x\ge 0$. Функція зростає, тому мінімум при $x=0$: $y_{min}=\sqrt{0}+2=2$.

2. Варіант б): Квадратична функція з віссю симетрії $x=0$, розкривається вгору. Мінімальне значення при $x=0$: $y_{min}=0^2-3=-3$.

3. Варіант в): Функція має максимум у точці $x=0$ (де $|x|=0$). Максимальне значення: $y_{max}=6-2\cdot 0=6$. Функція розкривається вниз.

Розв’язання

1. Загальні витрати складаються з фіксованих (електроенергія) і змінних (продукти): $C(x)=100+28x$.

2. Дохід від продажу $x$ тістечок дорівнює: $R(x)=45x$.

3. Функція прибутку $y$ — це різниця доходу та витрат: $y=R(x)-C(x)=45x-(100+28x)=17x-100$.

4. Область визначення: кількість тістечок має бути натуральною ($x\in \mathbb{N}$).

5. Щоб покрити витрати, прибуток має дорівнювати нулю: $17x-100=0\Rightarrow x=\frac{100}{17}\approx 5,88$. Оскільки тістечок не можна продати частково, потрібно продати 6 штук.

6. Прибуток при продажу 200 тістечок: $y=17\cdot 200-100=3400-100=3300$.

Розв’язання

1. Функція описує раціональний дріб, де чисельник — $x$, а знаменник — $(x-5)$.

2. Помилка виникає при обчисленні $f(5)$, тому що підставивши 5 у знаменник, отримуємо $5-5=0$, і ділення на нуль неможливе.

3. Область визначення: $x\ne 5$.

4. Щоб програма працювала коректно (якщо мета — просто виконати ділення), код залишається таким самим, але користувачеві треба пам'ятати про обмеження аргументу. Якщо ж потрібно «виправити» помилку в сенсі уникнення падіння програми, можна додати перевірку умови `if x != 5`.

Розв’язання

1. Для пункту а): Область визначення складається з трьох частин: $(-\infty ;1]$, $(1;4)$ та $[4;+\infty )$. Оскільки ці проміжки перекриваються в точці 1 (перший відрізок включає 1, другий — ні), але не мають пропусків, то область визначення — це всі дійсні числа.
   Перевіримо значення в точці $x=1$: за першою формулою $y=1+1=2$, за другою (при підстановці межі) $3-1=2$. Функція безперервна.
   Область визначення: $D=(-\infty ;+\infty )$.

2. Для пункту б): Перший і третій відрізки задаються однією формулою $\frac{6}{x}$. Ця функція не має сенсу при $x=0$. Другий відрізок $[-2;2]$ включає нуль. Отже, у точці $x=0$ вираз $\frac{6}{x}$ не визначений, але в умові другого випадку формула інша ($1,5x$).
   Однак, якщо при $x=0$ ми використовуємо другу гілку, то значення існує. Але перші та треті гілки виключають нуль. Друга гілка включає його. Отже, функція визначена всюди, крім випадку, коли бачимо $\frac{6}{x}$ при $x=0$, але це неможливо, бо для $x=0$ діє друга формула.
   Перевіримо умови: $x<-2$ (не містить 0), $-2\le x\le 2$ (містить 0), $x>2$ (не містить 0). Отже, функція визначена для всіх $x$, крім випадків, де $\frac{6}{x}$ використовується при $x=0$. Але це неможливо.
   Однак, якщо розглядати графічно: гіпербола має асимптоту $x=0$. У проміжку $[-2;2]$ функція лінійна, тому вона проходить через початок координат. Отже, функція визначена для всіх дійсних чисел.

Розв’язання

1. Запишемо функції:
   Тариф А: $y_A=\{\begin{array}{ll}400,& x\le 20\\ 400+25(x-20),& x>20\end{array}$
   Спростимо другу частину: $400+25x-500=25x-100$.
   Отже, $y_A=\{\begin{array}{ll}400,& x\le 20\\ 25x-100,& x>20\end{array}$

   Тариф Б: $y_B=550$ (для всіх $x\ge 0$).

2. Область визначення для обох функцій — це всі невід'ємні числа: $D=[0;+\infty )$.

3. Обчислимо вартість при $x=50$:
   Для Тарифу А: $y_A=25\cdot 50-100=1250-100=1150$ грн.
   Для Тарифу Б: $y_B=550$ грн.

4. Знайдемо точку перетину (коли вартості однакові):
   Прирівняємо вирази для $x>20$: $25x-100=550$.
   $25x=650\Rightarrow x=26$.
   Перевіримо: при $x=26$, Тариф А: $400+25(6)=550$ грн. Тариф Б: 550 грн. Збігається.

5. Порівняємо тарифи для $10\le x\le 100$:
   При $x=10$: $y_A=400$, $y_B=550$. Тариф А дешевший.
   При $x=26$: вартості однакові (550 грн).
   При $x>26$ (наприклад, 50): $y_A=1150$, $y_B=550$. Тариф Б дешевший.
   Отже, вигідний тариф залежить від обсягу трафіку.