ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 79

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 387–394 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Функції Functions

Завдання 387

Функція

y = - x

на натуральних числах

Кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то задай її формулою та графіком.

Розв’язання

Обираємо область визначення $D = {1; 2; 3; ...}$ . Для кожного $x$ знаходимо $y = - x$ : $(1; - 1), (2; - 2), (3; - 3)$ .
Будуємо точки на координатній площині та з'єднуємо їх променем, що йде від початку координат вниз-вправо.

Відповідь:

Так, це функція $y = - x$ ; графік — промінь у IV чверті.

Завдання 388

Функція

y = x

на цілих числах

Кожному цілому числу відповідає рівне йому число. Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то що є її графіком?

Розв’язання

Перевіряємо умову: для будь-якого цілого $x$ , $y = x$ . Це виконується для всіх точок прямої.
Будуємо пряму, що проходить через точки $(0; 0)$ і $(1; 1)$ .

Відповідь:

Так, це функція $y = x$ ; графік — пряма, що проходить через початок координат.

Завдання 389

Читаємо графік функції

Функцію $y = f (x)$ задано графіком (мал. 8.14). Для яких значень аргументу:
а) $f (x) = 0, f (x) \leq 0$ ;
б) $f (x) = - 2, f (x) > - 2, f (x) \leq - 2$ ;
в) $f (x) = 3, f (x) \geq 3, f (x) < 3$ ;
г) $0 \leq f (x) \leq 3$ ;
ґ) $- 2 < f (x) < 4$ ?

Розв’язання

а) Графік лежить нижче або на осі $O x$ для $x \in [- 2; 4]$ . Точки перетину з віссю: $(- 2; 0)$ і $(4; 0)$ . Відповідь: $- 2 \leq x \leq 4$ .
б) Графік дорівнює $- 2$ при $x = 6$ . Графік вище рівня $y = - 2$ для $x \in [1; 7]$ . Графік нижче або на рівні $y = - 2$ для $x \in [- 2; 1]$ і $x = 6$ .
в) Графік дорівнює $3$ при $x = - 1$ . Графік вище рівня $y = 3$ не має (максимум 4). Графік нижче або на рівні $y = 3$ для $x \in [- 2; 5]$ .
г) Графік знаходиться між лініями $y = 0$ і $y = 3$ . Це відповідає проміжку $[- 1; 4]$ .
ґ) Графік знаходиться між лініями $y = - 2$ і $y = 4$ . Це відповідає проміжку $[1; 6]$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 2; 4]$ ; б) $f (x) = - 2$ при $x = 6$ , $f (x) > - 2$ при $x \in (1; 7)$ , $f (x) \leq - 2$ при $x \in [- 2; 1] \cup {6}$ ; в) $f (x) = 3$ при $x = - 1$ , $f (x) \geq 3$ ніколи, $f (x) < 3$ при $x \in (- 2; - 1) \cup (5; 8)$ ; г) $x \in [- 1; 4]$ ; ґ) $x \in [1; 6]$ .

Завдання 390

Знаходження параметра графіка

Графік функції $y = x + m$ має проходити через точку $P (5; 5)$ . Потрібно знайти значення $m$ і перевірити, чи проходить графік через точку $Q (- 4; 4)$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $P (5; 5)$ в рівняння графіка: $5 = 5 + m$ .
Піднесемо обидві частини рівності до квадрату, щоб позбутися кореня: $25 = 5 + m$ .
Знайдемо $m$ : $m = 25 - 5$ , отже $m = 20$ . Функція має вигляд $y = x + 20$ .
Перевіримо точку $Q (- 4; 4)$ : підставимо $x = - 4$ у функцію $y = - 4 + 20 = 16 = 4$ . Оскільки отримане $y$ дорівнює ординаті точки $Q$ , графік проходить через неї.

Відповідь:

Значення $m = 20$ . Графік функції проходить через точку $Q (- 4; 4)$ .

Завдання 392

Область визначення раціональних функцій

Знайти область визначення (ОДЗ) та побудувати графік для трьох функцій: а) $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ ; б) $y = \frac{10 - 5 x}{x ^{2} - 2 x}$ ; в) $y = - \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{2 x - 1}$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Функцію можна скоротити: $y = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ , але точка $(3; 6)$ не входить до графіка. ОДЗ: $x \neq = 3$ .
б) Знаменник $x^{2} - 2 x = x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = 2$ . Функцію скоротити не можна. ОДЗ: $x \neq = 0, x \neq = 2$ .
в) Знаменник $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Чисельник розкладається на $(x - 1) (2 x - 1)$ , скорочуємо зі знаменником. ОДЗ: $x \neq = 0, 5$ .

Відповідь:

а) $D = (- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ , графік — пряма $y = x + 3$ без точки $(3; 6)$ ; б) $D = (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)$ , графік — гіпербола з асимптотами $x = 0, x = 2$ ; в) $D = (- \infty; 0, 5) \cup (0, 5; + \infty)$ , графік — пряма $y = - x + 1$ без точки $(0, 5; - 0, 5)$ .

Завдання 393

Область визначення раціональних функцій

Знайти область визначення (ОД) для функцій: а) $y = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ ; б) $y = - \frac{12 - 4 x}{x ^{2} - 3 x}$ ; в) $y = \frac{2 x ^{2} - 7 x + 3}{x - 3}$ .

Розв’язання

а) Знаменник $x + 2 \neq = 0$ , отже $x \neq = - 2$ . ОД: $(- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ .
б) Знаменник $x^{2} - 3 x = x (x - 3) \neq = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . ОД: $(- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .
в) Знаменник $x - 3 \neq = 0$ , отже $x \neq = 3$ . ОД: $(- \infty; 3) \cup (3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x \neq = - 2$ ; б) $x \neq = 0, x \neq = 3$ ; в) $x \neq = 3$ .

Завдання 394

Область визначення функцій з коренем та дробом

Знайти область визначення для функцій: а) $y = \frac{x}{x ^{2} - 5}$ ; б) $y = \frac{x ^{3} + 5 x}{4 x}$ ; в) $y = \frac{x + 1}{x ^{3} - 5 x ^{2}}$ ; г) $y = x + 5 + 5 - x$ ; ґ) $y = x^{2} - 6 x + 10$ ; д) $y = \frac{- 3 x - 4}{4 - ∣ x ∣}$ .

Розв’язання

а) Умови: $x \geq 0$ (під коренем) та $x^{2} - 5 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 5$ . ОД: $[0; 5) \cup (5; + \infty)$ .
б) Умови: $x (x^{2} + 5) \geq 0$ (оскільки $x^{2} + 5 > 0$ , то $x \geq 0$ ) та $4 x \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 0$ . ОД: $(0; + \infty)$ .
в) Умови: $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 1$ та $x^{2} (1 - 5 x) \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 0, x \neq = 0, 2$ . ОД: $[- 1; 0) \cup (0; 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ .
г) Умови: $x + 5 \geq 0$ та $5 - x \geq 0$ . Отже, $- 5 \leq x \leq 5$ . ОД: $[- 5; 5]$ .
ґ) Умова під коренем: $x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ для будь-якого $x$ . Знаменника немає. ОД: $(- \infty; + \infty)$ .
д) Умови: $- 3 x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq - \frac{4}{3}$ та $4 - ∣ x ∣ \neq = 0 \Rightarrow ∣ x ∣ \neq = 4 \Rightarrow x \neq = \pm 4$ . ОД: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - \frac{4}{3}]$ .

Відповідь:

а) $[0; 5) \cup (5; + \infty)$ ; б) $(0; + \infty)$ ; в) $[- 1; 0) \cup (0; 0, 2) \cup (0, 2; + \infty)$ ; г) $[- 5; 5]$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 1, \overline{3}]$ .