ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 78

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 373–386 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Функції Functions

Завдання 373

Побудова графіків лінійних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = 0, 5 x - 1$ ; в) $y = - 3 x$ ; г) $y = 7 - 2 x$ ; д) $y = 5$ ; е) $y = 3 - x$ .

Розв’язання

Для функції а) $y = 3 x - 2$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 2)$ , з віссю $O x$ — $(\frac{2}{3}; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції б) $y = 0, 5 x - 1$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; - 1)$ , з віссю $O x$ — $(2; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції в) $y = - 3 x$ : графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Знайди ще одну точку, наприклад, при $x = 1$ отримаємо $(1; - 3)$ і з'єднай їх.
Для функції г) $y = 7 - 2 x$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 7)$ , з віссю $O x$ — $(3, 5; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.
Для функції д) $y = 5$ : це горизонтальна пряма, що проходить через точку $(0; 5)$ паралельно осі $O x$ .
Для функції е) $y = 3 - x$ : точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 3)$ , з віссю $O x$ — $(3; 0)$ . З'єднай ці точки прямою.

Відповідь:

Графіки побудовані як прямі лінії для функцій а), б), в), г), е) та горизонтальна пряма для д).

Завдання 374

Побудова графіків функцій (лінійних, сталої)

Побудувати графіки функцій: а) $f (x) = 2 - 3 x$ ; б) $f (x) = - 1$ ; в) $f (x) = 0, 5 x$ .

Розв’язання

Для а) $f (x) = 2 - 3 x$ : це лінійна функція. Точка перетину з віссю $O y$ — $(0; 2)$ , з віссю $O x$ — $(\frac{2}{3}; 0)$ . З'єднай їх прямою.
Для б) $f (x) = - 1$ : це стала функція. Графік — пряма, що проходить через всі точки виду $(x; - 1)$ (наприклад, $(0; - 1)$ і $(1; - 1)$ ).
Для в) $f (x) = 0, 5 x$ : графік проходить через початок координат $(0; 0)$ . Ще одна точка: при $x = 2$ маємо $y = 1$ , тобто точка $(2; 1)$ . З'єднай їх.

Відповідь:

Графіки побудовані: а) пряма, що спадає; б) горизонтальна пряма на рівні $y = - 1$ ; в) пряма, що проходить через початок координат і піднімається.

Завдання 375

Перевірка належності точки графіку функції

Дано функцію $y = 25 - x^{2}$ . Чи належить її графіку точка $A (3; 4)$ ? Чи належить точка $B (- 4; 3)$ ?

Розв’язання

Перевірка точки $A (3; 4)$ : підставимо $x = 3$ у формулу функції. Отримуємо $y = 25 - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ . Оскільки отримане значення $y = 4$ збігається з ординатою точки $A$ , то точка належить графіку.
Перевірка точки $B (- 4; 3)$ : підставимо $x = - 4$ у формулу функції. Отримуємо $y = 25 - (- 4)^{2} = 25 - 16 = 9 = 3$ . Оскільки отримане значення $y = 3$ збігається з ординатою точки $B$ , то точка належить графіку.

Відповідь:

Точка $A (3; 4)$ належить графіку функції, точка $B (- 4; 3)$ також належить графіку функції.

Завдання 376

Перевірка точок на графіку

Чи проходить графік функції $y = x (x - 3)$ через точки $A (2; - 2)$ та $B (- 1; 4)$ ?

Розв’язання

Перевіримо точку $A (2; - 2)$ . Підставимо $x = 2$ у формулу: $y = 2 \cdot (2 - 3) = 2 \cdot (- 1) = - 2$ . Оскільки отримане значення дорівнює ординаті точки $A$ , точка належить графіку.
Перевіримо точку $B (- 1; 4)$ . Підставимо $x = - 1$ у формулу: $y = (- 1) \cdot (- 1 - 3) = (- 1) \cdot (- 4) = 4$ . Оскільки отримане значення дорівнює ординаті точки $B$ , точка належить графіку.

Відповідь:

Графік проходить через обидві точки: $A (2; - 2)$ та $B (- 1; 4)$ .

Завдання 377

Визначення точки на графіку

Яка з точок $A (- 2; - 6)$ , $B (1, 5; 8)$ , $C (- 3; 4)$ , $D (- 2; - 6)$ належить графіку функції: а) $y = - 10 x - 26$ ; б) $y = \frac{12}{x}$ ; в) $y = x^{2} + 7$ ?

Розв’язання

Для функції а) $y = - 10 x - 26$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $- 10 \cdot (- 2) - 26 = 20 - 26 = - 6$ . Збігається.
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $- 10 \cdot 1, 5 - 26 = - 15 - 26 = - 41 \neq = 8$ . Не збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $- 10 \cdot (- 3) - 26 = 30 - 26 = 4 \neq = 4$ (помилка в умові, точка C має бути перевірена як $y = 4$ , отримано $4$ , значить збігається). Перевіримо ще раз: $- 10 (- 3) - 26 = 30 - 26 = 4$ . Так, збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : дублікат точки A, також належить.
Увага: У умові двічі вказано точку $D (- 2; - 6)$ . Якщо це опечатка і мається на увазі інша точка, перевіряти не можна. Припускаємо, що треба знайти всі підходящі з переліку.
Відповідь для а): Точки $A$ та $C$ (та $D$ , якщо вона така сама).
Для функції б) $y = \frac{12}{x}$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $\frac{12}{- 2} = - 6$ . Збігається.
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $\frac{12}{1 , 5} = 8$ . Збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $\frac{12}{- 3} = - 4 \neq = 4$ . Не збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : дублікат, збігається.
Відповідь для б): Точки $A$ , $B$ та $D$ .
Для функції в) $y = x^{2} + 7$ :
- Точка $A (- 2; - 6)$ : $(- 2)^{2} + 7 = 4 + 7 = 11 \approx 3, 3 \neq = - 6$ . Не збігається (крім того, корінь завжди невід'ємний).
- Точка $B (1, 5; 8)$ : $(1, 5)^{2} + 7 = 2, 25 + 7 = 9, 25 \approx 3, 04 \neq = 8$ . Не збігається.
- Точка $C (- 3; 4)$ : $(- 3)^{2} + 7 = 9 + 7 = 16 = 4$ . Збігається.
- Точка $D (- 2; - 6)$ : не збігається.
Відповідь для в): Тільки точка $C$ .

Відповідь:

а) точки $A (- 2; - 6)$ та $C (- 3; 4)$ (і дублікат $D$ ); б) точки $A (- 2; - 6)$ , $B (1, 5; 8)$ (і дублікат $D$ ); в) точка $C (- 3; 4)$ .

Завдання 378

Точки перетину з осями координат

У яких точках перетинає осі координат графік функції: а) $y = 2, 5 x$ ; б) $y = 3 - 2 x$ ; в) $y = 2 (x - 1)$ ?

Розв’язання

Функція а) $y = 2, 5 x$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $2, 5 x = 0 \Rightarrow x = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
Функція проходить через початок координат.
Функція б) $y = 3 - 2 x$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 3 - 0 = 3$ . Точка $(0; 3)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = 3 - 2 x \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1, 5$ . Точка $(1, 5; 0)$ .
Функція в) $y = 2 (x - 1) = 2 x - 2$ :
- Перетин з $O y$ ( $x = 0$ ): $y = 2 (0 - 1) = - 2$ . Точка $(0; - 2)$ .
- Перетин з $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = 2 (x - 1) \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ . Точка $(1; 0)$ .

Відповідь:

а) точка $(0; 0)$ ; б) точки $(0; 3)$ та $(1, 5; 0)$ ; в) точки $(0; - 2)$ та $(1; 0)$ .

Завдання 379

Перетин графіків з осями та перевірка точок

Дано функції: а) $y = x - 3$ ; б) $y = (x - 1) (x - 2)$ ; в) $y = x^{2} - 6 x + 9$ . Потрібно знайти точки перетину з осями координат для кожної функції.

Розв’язання

Функція а) $y = x - 3$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = - 3$ , точка $(0; - 3)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ , точка $(3; 0)$ .
Функція б) $y = (x - 1) (x - 2)$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = (- 1) \cdot (- 2) = 2$ , точка $(0; 2)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = 2$ , точки $(1; 0)$ і $(2; 0)$ .
Функція в) $y = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . З віссю $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 9$ , точка $(0; 9)$ . З віссю $O x$ : $y = 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$ , точка $(3; 0)$ .

Відповідь:

а) $(0; - 3)$ , $(3; 0)$ ; б) $(0; 2)$ , $(1; 0)$ , $(2; 0)$ ; в) $(0; 9)$ , $(3; 0)$ .

Завдання 380

Перерахунок температур та побудова графіків

Дано формули перерахунку температури: $t_{F} = \frac{9}{5} (t_{C} + 32)$ , $t_{K} = t_{C} + 273$ . Потрібно знайти значення температури за Фаренгейтом і Кельвіном для довільних 10 значень за Цельсієм, занести дані до таблиці та описати побудову графіків.

Розв’язання

Обираємо значення $t_{C}$ : $- 20, - 10, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70$ .
Обчислюємо для кожного $t_{C}$ значення $t_{F} = \frac{9}{5} (t_{C} + 32)$ та $t_{K} = t_{C} + 273$ . Наприклад, для $t_{C} = 0$ : $t_{F} = \frac{9}{5} (32) = 57, 6$ , $t_{K} = 273$ .
Заповнюємо таблицю (частково): при $t_{C} = - 10 \Rightarrow t_{F} = 1 4^{\circ} F, t_{K} = 263 K$ ; при $t_{C} = 20 \Rightarrow t_{F} = 6 8^{\circ} F, t_{K} = 293 K$ .

Відповідь:

Таблиця містить пари значень $(t_{C}; t_{F})$ та $(t_{C}; t_{K})$ . Графіки обох залежностей є прямими лініями, що зростають. Для побудови в Desmos вводимо рівняння $y = 1, 8 (x + 32)$ та $y = x + 273$ , де $x$ — це $t_{C}$ .

Завдання 381

Перевірка властивості парності функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2}$ . Потрібно перевірити, чи виконується рівність $f (- a) = f (a)$ для кожного числа $a$ .

Розв’язання

Знайдемо значення функції при аргументі $- a$ : $f (- a) = (- a)^{2}$ .
За правилом степеня, квадрат числа завжди додатний, тому $(- a)^{2} = a^{2}$ .
Знайдемо значення функції при аргументі $a$ : $f (a) = a^{2}$ .
Порівнюємо отримані вирази: $a^{2} = a^{2}$ , отже, рівність виконується.

Відповідь:

Так, рівність $f (- a) = f (a)$ виконується для будь-якого числа $a$ .

Завдання 382

Властивість кубічної функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{3}$ . Чи для кожного значення її аргументу $x$ правильна рівність $f (- x) = - f (x)$ ?

Розв’язання

Знайдемо значення функції для аргументу $- x$ : $f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3}$ .
Знайдемо від'ємне значення функції для аргументу $x$ : $- f (x) = - (x^{3}) = - x^{3}$ .
Порівняємо отримані вирази: оскільки $- x^{3} = - x^{3}$ , то рівність виконується для будь-якого $x$ .

Відповідь:

Так, рівність $f (- x) = - f (x)$ правильна.

Завдання 383

Заповнення таблиці функції

Функцію задано формулою $y = \frac{6 x}{1 + x}$ на множині натуральних чисел першого десятка ( $x \in {1, 2, ..., 9}$ ). Потрібно записати значення функції у вигляді таблиці.

Розв’язання

Обчислимо значення $y$ для кожного $x$ :
- При $x = 1$ : $y = \frac{6 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
- При $x = 2$ : $y = \frac{6 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$ .
- При $x = 3$ : $y = \frac{6 \cdot 3}{1 + 3} = \frac{18}{4} = 4, 5$ .
- При $x = 4$ : $y = \frac{6 \cdot 4}{1 + 4} = \frac{24}{5} = 4, 8$ .
- При $x = 5$ : $y = \frac{6 \cdot 5}{1 + 5} = \frac{30}{6} = 5$ .
- При $x = 6$ : $y = \frac{6 \cdot 6}{1 + 6} = \frac{36}{7} \approx 5, 14$ .
- При $x = 7$ : $y = \frac{6 \cdot 7}{1 + 7} = \frac{42}{8} = 5, 25$ .
- При $x = 8$ : $y = \frac{6 \cdot 8}{1 + 8} = \frac{48}{9} \approx 5, 33$ .
- При $x = 9$ : $y = \frac{6 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{54}{10} = 5, 4$ .
Запишемо отримані пари $(x; y)$ у таблицю.

Відповідь:

Таблиця значень функції:
$x$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
$y$ : 3, 4, 4{,}5, 4{,}8, 5, 5{,}14..., 5{,}25, 5{,}33..., 5{,}4

Завдання 385

Знаходження точки рівняння

Рівняння $9 x - 2 y = 14$ . Потрібно знайти координати точки, де ордината ( $y$ ) дорівнює абсцисі ( $x$ ).

Розв’язання

Оскільки $y = x$ , підставимо це в рівняння: $9 x - 2 x = 14$ .
Спростимо ліву частину: $7 x = 14$ .
Знайдемо $x$ : $x = 14/7 = 2$ . Оскільки $y = x$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

$(2; 2)$

Завдання 386

Знаходження точки з протилежними координатами

Функція задана формулою $y = x^{2} - 2$ . Потрібно знайти точку, де абсциса ( $x$ ) і ордината ( $y$ ) є протилежними числами.

Розв’язання

Запишемо умову про протилежні числа як рівність $y = - x$ .
Підставимо вираз для $y$ з формули функції ( $x^{2} - 2$ ) замість $y$ : $x^{2} - 2 = - x$ .
Перенесемо всі доданки в одну частину: $x^{2} + x - 2 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння знайдемо корені $x_{1} = 1$ та $x_{2} = - 2$ .
Знайдемо відповідні значення для $y$ : якщо $x = 1$ , то $y = - 1$ ; якщо $x = - 2$ , то $y = 2$ .

Відповідь:

$(1; - 1)$ та $(- 2; 2)$