ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 77

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 364–372 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Функції Functions

Завдання 364

Обчислення функції та її кратних значень

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2} + 10$ . Знайти: $f (2)$ , $3 f (2)$ , $2 f (3)$ , $0, 5 f (10)$ , $f (2)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (2)$ : підставляємо $x = 2$ у формулу: $2^{2} + 10 = 4 + 10 = 14$ .
Знайдемо $3 f (2)$ : множимо результат на 3: $3 \cdot 14 = 42$ .
Знайдемо $f (3)$ : підставляємо $x = 3$ : $3^{2} + 10 = 9 + 10 = 19$ .
Знайдемо $2 f (3)$ : множимо результат на 2: $2 \cdot 19 = 38$ .
Знайдемо $f (10)$ : підставляємо $x = 10$ : $1 0^{2} + 10 = 100 + 10 = 110$ .
Знайдемо $0, 5 f (10)$ : множимо результат на $0, 5$ (або ділимо на 2): $0, 5 \cdot 110 = 55$ .
Знайдемо $f (2)$ : підставляємо $x = 2$ : $(2)^{2} + 10 = 2 + 10 = 12$ .

Відповідь:

$f (2) = 14$ , $3 f (2) = 42$ , $2 f (3) = 38$ , $0, 5 f (10) = 55$ , $f (2) = 12$ .

Завдання 365

Обчислення функції та її кратних значень (англійською)

The function is given by the formula $f (x) = x^{3} - 5$ . Find: $f (- 3)$ , $- f (- 2)$ , $3 f (- 1)$ , $- 5 f (0)$ , $f (3)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 3)$ : $(- 3)^{3} - 5 = - 27 - 5 = - 32$ .
Знайдемо $- f (- 2)$ : спочатку $f (- 2) = (- 2)^{3} - 5 = - 8 - 5 = - 13$ , тоді $- f (- 2) = - (- 13) = 13$ .
Знайдемо $3 f (- 1)$ : спочатку $f (- 1) = (- 1)^{3} - 5 = - 1 - 5 = - 6$ , тоді $3 \cdot (- 6) = - 18$ .
Знайдемо $- 5 f (0)$ : спочатку $f (0) = 0^{3} - 5 = - 5$ , тоді $- 5 \cdot (- 5) = 25$ .
Знайдемо $f (3)$ : $(3)^{3} - 5 = 33 - 5$ .

Відповідь:

$f (- 3) = - 32$ , $- f (- 2) = 13$ , $3 f (- 1) = - 18$ , $- 5 f (0) = 25$ , $f (3) = 33 - 5$ .

Завдання 366

Обчислення суми та різниці значень функції

Функцію задано формулою $f (x) = x^{2} - x$ . Обчисли: а) $f (- 2) + f (- 1)$ ; б) $f (0) + f (1)$ ; в) $f (2) - f (30)$ .

Розв’язання

Знайдемо $f (- 2)$ : $(- 2)^{2} - (- 2) = 4 + 2 = 6$ .
Знайдемо $f (- 1)$ : $(- 1)^{2} - (- 1) = 1 + 1 = 2$ .
Знайдемо $f (0)$ : $0^{2} - 0 = 0$ .
Знайдемо $f (1)$ : $1^{2} - 1 = 0$ .
Знайдемо $f (2)$ : $2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$ .
Знайдемо $f (30)$ : $3 0^{2} - 30 = 900 - 30 = 870$ .
Обчислимо а) $f (- 2) + f (- 1) = 6 + 2 = 8$ .
Обчислимо б) $f (0) + f (1) = 0 + 0 = 0$ .
Обчислимо в) $f (2) - f (30) = 2 - 870 = - 868$ .

Відповідь:

а) 8; б) 0; в) -868.

Завдання 367

Обчислення значень функції за формулою

Дано функцію $f (x) = x^{2} - x + 1$ . Потрібно обчислити вираз $f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ (пункт а) та $f (10) - f (- 9) + f (8) - f (- 7)$ (пункт б).

Розв’язання

Обчислюємо значення функції для кожного аргументу у пункті а):
$f (0) = 0^{2} - 0 + 1 = 1$ ;
$f (1) = 1^{2} - 1 + 1 = 1$ ;
$f (2) = 2^{2} - 2 + 1 = 3$ ;
$f (3) = 3^{2} - 3 + 1 = 7$ .
Сума: $1 + 1 + 3 + 7 = 12$ .
Обчислюємо значення функції для кожного аргументу у пункті б):
$f (10) = 1 0^{2} - 10 + 1 = 91$ ;
$f (- 9) = (- 9)^{2} - (- 9) + 1 = 81 + 9 + 1 = 91$ ;
$f (8) = 8^{2} - 8 + 1 = 64 - 8 + 1 = 57$ ;
$f (- 7) = (- 7)^{2} - (- 7) + 1 = 49 + 7 + 1 = 57$ .
Виконуємо обчислення виразу: $91 - 91 + 57 - 57 = 0$ .

Відповідь:

а) 12; б) 0.

Завдання 368

Обчислення значень кусково-заданої функції

Дана функція $f (x) = {10, 4 x^{2} + 3 x, якщо x < - 2 якщо x \geq - 2$ . Потрібно обчислити вираз $f (- 4) - f (2)$ .

Розв’язання

Знаходимо $f (- 4)$ . Оскільки $- 4 < - 2$ , використовуємо першу формулу: $f (- 4) = 10$ .
Знаходимо $f (2)$ . Оскільки $2 \geq - 2$ , використовуємо другу формулу: $f (2) = 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 = 4 \cdot 4 + 6 = 16 + 6 = 22$ .
Обчислюємо різницю: $f (- 4) - f (2) = 10 - 22 = - 12$ .

Відповідь:

-12.

Завдання 369

Аналіз графіка функції за малюнком

Дано графік функції $y = f (x)$ на проміжку $[- 5; 5]$ . Потрібно знайти область визначення, область значень, конкретні значення функції ( $f (- 5), f (0)$ тощо), точки перетину з осями та екстремальні точки.

Розв’язання

Область визначення ( $D (f)$ ): Графік розташований від $x = - 5$ до $x = 5$ . Отже, $D (f) = [- 5; 5]$ .
Область значень ( $E (f)$ ): Графік досягає мінімуму приблизно при $y = - 1$ (точніше, між -1 і -2, але за сіткою це $- 1$ або трохи нижче, давайте візьмемо точніше: точка мінімуму знаходиться на перетині ліній сітки. По горизонталі відліки по 1 одиниці. Мінімальне значення $y \approx - 1$ . Максимальне значення $y = 5$ (вершина параболоподібної частини). Отже, $E (f) = [- 1; 5]$ .
Знаходимо конкретні значення:
$f (- 5)$ — точка на лівому краю графіка, $y \approx 2$ (точніше, це перетин з сіткою). Дивлячись на малюнок, при $x = - 5$ , $y = 2$ .
$f (- 4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (0) = 4.5$ (точка перетину з віссю $y$ , графік проходить між 4 і 5, ближче до середини? Ні, дивлячись на сітку: при $x = 0$ , $y$ знаходиться трохи вище 4. Давайте уважніше: вершина параболі при $x = 1, y = 5$ . Ліва гілка гіперболи або інша функція. При $x = - 2, y = 0$ . При $x = - 3, y \approx - 1$ . При $x = - 4, y = 0$ . При $x = - 5, y = 2$ .
Перевіримо точки:
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) = 4.5$ (або $4, 6$ ? На малюнку точка на осі $y$ знаходиться між 4 і 5. Припустимо, це $4, 5$ або трохи більше. Але для школи часто беруть цілі числа або півцілі. Давайте візьмемо точніше: графік проходить через $(0; 4, 5)$ ? Ні, подивимось на сітку. Вертикальна лінія $x = 0$ перетинає графік на рівні трохи вище 4. Можливо $4, 6$ . Але без точної формулі важко сказати точно. Однак, якщо це задача з підручника, часто точки цілі. Перевіримо: чи проходить через $(0; 5)$ ? Ні. Через $(0; 4)$ ? Ні. Точка між 4 і 5.
$f (4) = 0$ (перетин з віссю $x$ ).
$f (5) \approx - 3$ (точка на правому краю, трохи нижче -2).
Уточнення: Оскільки це графік складної функції (комбінація), точні значення можна визначити лише візуально.
$f (- 5) = 2$ ;
$f (- 4) = 0$ ;
$f (0) \approx 4, 6$ (або просто "між 4 і 5");
$f (4) = 0$ ;
$f (5) \approx - 3$ .
Альтернатива: Можливо, це поліном чи інша функція. Але без формули ми беремо з графіка.
Давайте візьмемо значення з сітки:
При $x = - 5$ , $y = 2$ .
При $x = - 4$ , $y = 0$ .
При $x = 0$ , $y \approx 4, 6$ (або $4, 5$ ).
При $x = 4$ , $y = 0$ .
При $x = 5$ , $y \approx - 3$ .
Точки перетину з осями:
З віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько до цього).
З віссю $x$ : $(- 4; 0)$ та $(4; 0)$ .
Екстремуми:
Найбільше значення досягається при $x = 1$ ( $y = 5$ ).
Найменше значення досягається при $x = 5$ (або в кінці проміжку, де графік йде вниз). На малюнку при $x = 5$ , $y \approx - 3$ . Отже, мінімум на кінці проміжку.

Відповідь:

а) Область визначення: $[- 5; 5]$ . Область значень: $[- 3; 5]$ (припускаючи, що мінімум досягається в точці $x = 5$ ).
б) $f (- 5) = 2$ , $f (- 4) = 0$ , $f (0) \approx 4, 6$ , $f (4) = 0$ , $f (5) \approx - 3$ . (Точні значення залежать від масштабу сітки, але зазвичай беруть цілі або півцілі: можливо $f (0) = 4, 5$ ).
в) $f (x) = 4$ при $x \approx 0, 2$ та $x \approx - 3, 8$ . $f (x) = 0$ при $x = - 4$ та $x = 4$ .
г) Перетин з віссю $y$ : $(0; 4, 6)$ (або близько); перетин з віссю $x$ : $(- 4; 0), (4; 0)$ .
ґ) Найбільше значення при $x = 1$ ( $y = 5$ ). Найменше значення при $x = 5$ ( $y \approx - 3$ ).

(Примітка: Без точної формули функції, що зображена на малюнку, відновити всі координати точно неможливо. Відповідь базується на візуальному аналізі сітки).

Завдання 370

Графічна робота з GeoGebra

Один учень малює графік функції в GeoGebra, інший перевіряє, чи це графік функції (кожному $x$ відповідає лише одне $y$ ), і знаходить область визначення та значень. Потім ролі міняються.

Розв’язання

Відкрий сайт https://www.geogebra.org/graphing.
У полі вводу введи рівняння функції (наприклад, $y = 2 x - 5$ ) і натисни Enter.
Перевір, чи є графіком функції: спробуй провести вертикальну лінію в будь-якій точці — вона має перетинати графік лише в одній точці.
Визнач межі проміжків на осях координат для області визначення та значень.

Відповідь:

Область визначення залежить від вибраної функції (зазвичай це множина всіх дійсних чисел або її підмножина), область значень — також залежить від виду графіка.

Завдання 371

Знайти область визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = \frac{3}{x - 2}$ ; в) $y = x + 5$ ; г) $y = \frac{1}{( x - 3 ) ( x - 4 )}$ ; ґ) $y = x + 1$ ; д) $y = \frac{10}{x ^{2} + 1}$ .

Розв’язання

а) Лінійна функція визначена для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
б) Знаменник $x - 2 \neq = 0$ , отже $x \neq = 2$ . Відповідь: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ .
в) Підкорінь $x + 5 \geq 0$ , тобто $x \geq - 5$ . Відповідь: $[- 5; + \infty)$ .
г) Знаменник $(x - 3) (x - 4) \neq = 0$ , отже $x \neq = 3$ і $x \neq = 4$ . Відповідь: $(- \infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)$ .
ґ) Підкорінь $x + 1 \geq 0$ , тобто $x \geq - 1$ . Відповідь: $[- 1; + \infty)$ .
д) Знаменник $x^{2} + 1$ завжди додатний для будь-якого дійсного $x$ , тому не може бути нулем. Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ ; в) $[- 5; + \infty)$ ; г) $(- \infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; + \infty)$ ; ґ) $[- 1; + \infty)$ ; д) $(- \infty; + \infty)$ .

Завдання 372

Знайти область визначення функцій

Знайти область визначення для функцій: а) $y = 5 x - 1$ ; б) $y = \frac{3}{( x - 4 ) ( x + 1 )}$ ; в) $y = 4 - x$ ; г) $y = \frac{2 x}{5 - x}$ ; ґ) $y = x^{2} + 1$ ; д) $y = \frac{x - 1}{1 + x}$ .

Розв’язання

а) Лінійна функція визначена для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
б) Знаменник $(x - 4) (x + 1) \neq = 0$ , отже $x \neq = 4$ і $x \neq = - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4) \cup (4; + \infty)$ .
в) Підкорінь $4 - x \geq 0$ , тобто $x \leq 4$ . Відповідь: $(- \infty; 4]$ .
г) Знаменник $5 - x \neq = 0$ , отже $x \neq = 5$ . Відповідь: $(- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ .
ґ) Підкорінь $x^{2} + 1$ завжди додатний, тому умови немає. Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
д) Знаменник $1 + x \neq = 0$ , отже $x \neq = - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 4]$ ; г) $(- \infty; 5) \cup (5; + \infty)$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$ .