ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 76

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 353–363 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Функції Functions

Завдання 353

Провідміна слів

а) функція; б) аргумент; в) графік.

Розв’язання

Функція — це залежність між змінними.
Аргумент — це та змінна, значення якої ми обираємо (вхідні дані).
Графік — це візуальне зображення цієї залежності на координатній площині.

Відповідь:

а) функція — правило відповідності; б) аргумент — незалежна змінна; в) графік — сукупність точок $(x; y)$ , що задовольняють рівняння.

Завдання 354

Формули функцій

Задай формулою функцію, яка виражає відповідність між числами та: а) їхніми кубами; б) протилежними до них числами; в) оберненими до них числами; г) їхніми модулями.

Розв’язання

Для кубів функція має вигляд $y = x^{3}$ .
Для протилежних чисел функція має вигляд $y = - x$ .
Для обернених чисел функція має вигляд $y = \frac{1}{x}$ .
Для модулів функція має вигляд $y = ∣ x ∣$ .

Відповідь:

а) $y = x^{3}$ ; б) $y = - x$ ; в) $y = \frac{1}{x}$ ; г) $y = ∣ x ∣$ .

Завдання 355

Види графіків функцій

Яким є графік функції, заданої формулою: а) $y = 3 x + 1$ ; б) $y = x^{2}$ ; в) $y = 3$ ; г) $y = \frac{3}{x}$ ; ґ) $y = \frac{x}{3}$ ; д) $y = x$ .

Розв’язання

$y = 3 x + 1$ — лінійна функція, графік — пряма.
$y = x^{2}$ — квадратична функція, графік — парабола.
$y = 3$ — функція константи, графік — горизонтальна пряма.
$y = \frac{3}{x}$ — обернена пропорційність, графік — гіпербола.
$y = \frac{x}{3}$ — лінійна функція (пряма), що проходить через початок координат.
$y = x$ — кореневий вираз, графік — півпараболи (права гілка).

Відповідь:

а) пряма; б) парабола; в) горизонтальна пряма; г) гіпербола; ґ) пряма; д) півпараболи.

Завдання 356

Порівняння графіків функції та рівняння

а) Чи є графік функції $y = \frac{2}{3} x - 5$ також графіком рівняння $2 x - 3 y = 15$ ? б) Чи є графік функції $y = x$ також графіком рівняння $y^{2} = x$ ? Чому?

Розв’язання

а) Підставимо $y = \frac{2}{3} x - 5$ у рівняння $2 x - 3 y = 15$ . Отримаємо $2 x - 3 (\frac{2}{3} x - 5) = 2 x - (2 x - 15) = 15$ . Оскільки $15 = 15$ , це тотожність, тому графіки збігаються.
б) Перевіримо рівняння $y^{2} = x$ для функції $y = x$ . Піднесемо обидві частини функції до квадрату: $(x)^{2} = x$ , що дає $x = x$ . Однак, рівняння $y^{2} = x$ має два розв'язки щодо $y$ : $y = x$ та $y = - x$ . Графік функції містить лише верхню гілку ( $y \geq 0$ ), а графік рівняння — обидві гілки.

Відповідь:

а) Так, це правильно; б) Ні, не є, оскільки рівняння $y^{2} = x$ має дві гілки графіка ( $y = \pm x$ ), тоді як функція $y = x$ визначена лише для $y \geq 0$ .

Завдання 357

Перевірка проходження графіка через початок координат

Графік якої з функцій не проходить через початок координат?
А) $y = 2 (x - 3)$
Б) $y = 2 x^{2}$
В) $y = x (x - 2)$
Г) $y = x^{3} + x$

Розв’язання

Перевіримо функцію А: при $x = 0$ маємо $y = 2 (0 - 3) = - 6 \neq = 0$ . Графік не проходить через початок координат.
Перевіримо інші для порівняння: Б) $y = 2 \cdot 0^{2} = 0$ ; В) $y = 0 (0 - 2) = 0$ ; Г) $y = 0^{3} + 0 = 0$ .

Відповідь:

Завдання 358

Знаходження області визначення функцій

Знайди область визначення функції для випадків: а) $y = 3 x - 2$ ; б) $y = 4 - x^{2}$ ; в) $y = - 2, 5$ ; г) $y = \frac{5}{x ( x - 3 )}$ ; ґ) $y = 2 x - 4$ ; д) $y = \frac{1}{x} 5 - 2 x$ .

Розв’язання

а) Це многочлен, визначений на всіх дійсних числах: $D = R$ .
б) Також многочлен: $D = R$ .
в) Це стала функція (многочлен): $D = R$ .
г) Знаменник дробу не може дорівнювати нулю: $x (x - 3) \neq = 0$ , отже $x \neq = 0$ і $x \neq = 3$ . $D = (- \infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; + \infty)$ .
ґ) Під коренем має бути невід'ємне число: $2 x - 4 \geq 0 \Rightarrow 2 x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$ . $D = [2; + \infty)$ .
д) Дві умови: знаменник $\neq = 0$ і підкореневий вираз $\geq 0$ . $5 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2, 5$ . Також $x \neq = 0$ . $D = (- \infty; 0) \cup (0; 2, 5]$ .

Відповідь:

а) $R$ ; б) $R$ ; в) $R$ ; г) $x \neq = 0, x \neq = 3$ ; ґ) $[2; + \infty)$ ; д) $(- \infty; 0) \cup (0; 2, 5]$ .

Завдання 359

Область визначення функцій

Яка з наведених функцій визначена на множині всіх дійсних чисел (на всій осі $x$ )? Варіанти: А) $y = x - 3$ , Б) $y = \frac{3}{x - 3}$ , В) $y = \frac{3}{x ^{2} + 1}$ , Г) $y = \frac{3}{x - 1}$ .

Розв’язання

Функція А має корінь $x - 3$ . Він існує лише при $x \geq 3$ , тому область визначення не є всім $R$ .
Функція Б має знаменник $x - 3$ . Дріб не визначений при $x = 3$ , отже, це не вся множина дійсних чисел.
Функція Г має корінь у знаменнику $x - 1$ . Він існує при $x \geq 1$ , а також знаменник не може бути нулем, тому область визначення обмежена.
Функція В має знаменник $x^{2} + 1$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний ( $x^{2} \geq 0$ ), то сума $x^{2} + 1$ завжди більша за 1 і ніколи не дорівнює нулю. Кореня в виразі немає.

Відповідь:

Завдання 360

Таблиця та графік функції

Функцію задано формулою $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на області визначення $D = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ . Потрібно заповнити таблицю значень та описати графік.

Розв’язання

Обчислюємо значення функції для кожного $x$ :
- При $x = - 4$ : $y = \frac{1}{2} (- 4)^{2} = 8$ ; пара $(- 4; 8)$ .
- При $x = - 3$ : $y = \frac{1}{2} (- 3)^{2} = 4.5$ ; пара $(- 3; 4.5)$ .
- При $x = - 2$ : $y = \frac{1}{2} (- 2)^{2} = 2$ ; пара $(- 2; 2)$ .
- При $x = - 1$ : $y = \frac{1}{2} (- 1)^{2} = 0.5$ ; пара $(- 1; 0.5)$ .
- При $x = 0$ : $y = \frac{1}{2} (0)^{2} = 0$ ; пара $(0; 0)$ .
- При $x = 1$ : $y = \frac{1}{2} (1)^{2} = 0.5$ ; пара $(1; 0.5)$ .
- При $x = 2$ : $y = \frac{1}{2} (2)^{2} = 2$ ; пара $(2; 2)$ .
- При $x = 3$ : $y = \frac{1}{2} (3)^{2} = 4.5$ ; пара $(3; 4.5)$ .
- При $x = 4$ : $y = \frac{1}{2} (4)^{2} = 8$ ; пара $(4; 8)$ .
Графік складається з окремих точок (не лінії), симетричних відносно осі $O y$ , що лежать на параболі $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Відповідь:

Таблиця значень: $x y - 4 8 - 3 4.5 - 2 2 - 1 0.5 00 1 0.5 22 3 4.5 48$ . Графік — набір із 9 точок, розташованих на параболі.

Завдання 361

Побудова графіка та область значень

Побудувати графік функції $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на проміжку $[- 4; 4]$ і знайти її область значень.

Розв’язання

Вершиною параболи є точка $(0; 0)$ , де $y$ приймає найменше можливе значення (оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $\frac{1}{2} x^{2} \geq 0$ ). Отже, мінімальне значення функції дорівнює $0$ .
На кінцях проміжку $[- 4; 4]$ функція приймає найбільше значення: при $x = 4$ (або $x = - 4$ ) маємо $y = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = 8$ .
Графік — це півпараболи, що йде від точки $(- 4; 8)$ через початок координат до точки $(4; 8)$ .

Відповідь:

Область значень функції: $[0; 8]$ .

Завдання 362

Область значень квадратичної функції та перевірка точки

Функцію задано формулою $y = \frac{1}{2} x^{2}$ на множині дійсних чисел $R$ . Потрібно знайти її область значень і перевірити, чи належить графіку точка $A (- 100; 5000)$ .

Розв’язання

Знайдемо область значень. Оскільки множина визначення — це всі дійсні числа, а коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $\frac{1}{2}$ ), мінімальне значення функції дорівнює нулю (при $x = 0$ ). Значення зростають у бік плюс нескінченності. Отже, область значень $E = [0; + \infty)$ .
Перевіримо точку $A (- 100; 5000)$ . Підставимо абсцису точки $x = - 100$ у формулу функції: $y = \frac{1}{2} \cdot (- 100)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 10000 = 5000$ .
Порівняємо отримане значення з ординатою точки. Оскільки при $x = - 100$ функція набуває значення $y = 5000$ , що співпадає з координатою точки $A$ , точка належить графіку.

Відповідь:

Область значень $E = [0; + \infty)$ ; точка $A (- 100; 5000)$ належить графіку функції.

Завдання 363

Визначення функції за таблицею та знаходження формули

Функцію задано таблицею, де при $x = 1, 2, 3, \dots$ значення $y$ дорівнюють відповідно $5, 10, 15, \dots$ . Потрібно записати формулу функції, визначити її область визначення та область значень.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт пропорційності $k$ . Для першої пари: $k = \frac{y}{x} = \frac{5}{1} = 5$ . Перевіримо для іншої пари, наприклад $(2; 10)$ : $\frac{10}{2} = 5$ . Отже, формула функції має вигляд $y = 5 x$ .
Визначимо область визначення. З умови задачі видно, що $x$ приймає натуральні значення (або цілі числа від 1 до 8, якщо розглядати лише дані таблиці). Оскільки в умові про продовження функції не йдеться явно, але зазвичай такі задачі стосуються натурального ряду або заданого проміжку. Враховуючи контекст підручника (множина $N$ ), область визначення $D = {1; 2; 3; \dots}$ .
Область значень буде відповідною множиною натуральних чисел, помножених на 5: $E = {5; 10; 15; \dots}$ . Якщо ж розглядати функцію як продовження за формулою на всі дійсні числа (що часто буває в таких задачах), то $D = R$ , а $E = R$ . Але оскільки дані дискретні, найточніше сказати: $y = 5 x$ , де $x \in N$ .

Відповідь:

Формула функції: $y = 5 x$ ; область визначення: $D = {1; 2; 3; \dots}$ (множина натуральних чисел); область значень: $E = {5; 10; 15; \dots}$ .