ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 81

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 403–406 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Функції Functions

Завдання 403

Рівновага попиту та пропозиції

Функція попиту $Q_{D} = 9 - p$ , функція пропозиції $Q_{S} = 2 p - 6$ . $Q_{D}$ — обсяг попиту, $Q_{S}$ — обсяг пропозиції (мільйони штук за рік), $p$ — ціна. Знайти рівноважну ціну та обсяг продажу. Визначити зміну рівноважної ціни при зменшенні попиту на 20%.

Розв’язання

Запишемо умову рівноваги: $9 - p = 2 p - 6$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $p$ : перенесемо $- p$ у праву частину ( $+ p$ ), а $- 6$ у ліву ( $+ 6$ ). Отримаємо $9 + 6 = 3 p$ , тобто $15 = 3 p$ .
Знайдемо початкову ціну: $p = 15 : 3 = 5$ . Обчислимо обсяг продажу, підставивши $p = 5$ у будь-яку функцію (наприклад, $Q_{D} = 9 - 5 = 4$ ).
Зменшимо попит на 20%: новий попит становитиме $9 \cdot (1 - 0, 2) = 7, 2$ . Нове рівняння: $7, 2 - p = 2 p - 6$ .
Розв'яжемо нове рівняння: $7, 2 + 6 = 3 p \Rightarrow 13, 2 = 3 p \Rightarrow p = 4, 4$ .

Відповідь:

Початкова рівноважна ціна — 5 грошових одиниць, обсяг продажу — 4 млн штук. При зменшенні попиту на 20% нова рівноважна ціна становить 4{,}4 грошові одиниці.

Завдання 404

Порівняння виразів із коренями

Порівняти значення пар виразів: а) $32$ і $20$ ; б) $35$ і $44$ ; в) $13$ і $23$ ; г) $37$ і 8; ґ) $45$ і 9; д) $52$ і 7.

Розв’язання

а) $32 = 9 \cdot 2 = 18$ . Порівняємо $18$ і $20$ . Оскільки $18 < 20$ , то $32 < 20$ .
б) $35 = 9 \cdot 5 = 45$ . Порівняємо $45$ і $44$ . Оскільки $45 > 44$ , то $35 > 44$ .
в) $23 = 4 \cdot 3 = 12$ . Порівняємо $13$ і $12$ . Оскільки $13 > 12$ , то $13 > 23$ .
г) $37 = 9 \cdot 7 = 63$ . Порівняємо $63$ і $64$ (оскільки $8 = 64$ ). Оскільки $63 < 64$ , то $37 < 8$ .
ґ) $45 = 16 \cdot 5 = 80$ . Порівняємо $80$ і $81$ (оскільки $9 = 81$ ). Оскільки $80 < 81$ , то $45 < 9$ .
д) $52 = 25 \cdot 2 = 50$ . Порівняємо $50$ і $49$ (оскільки $7 = 49$ ). Оскільки $50 > 49$ , то $52 > 7$ .

Відповідь:

а) $32 < 20$ ; б) $35 > 44$ ; в) $13 > 23$ ; г) $37 < 8$ ; ґ) $45 < 9$ ; д) $52 > 7$ .

Завдання 405

Розрахунок зарплати та податків

Брутто-зарплата — 35430 грн. Податок на доходи фізичних осіб (ДФП) — 18%. Податок на військовий збір (ВЗ) — 5%. Знайти чисту зарплату за місяць та суму відрахувань за рік.

Розв’язання

Обчислимо загальний відсоток утримань: $18% + 5% = 23%$ . У дробовому вигляді це $0, 23$ .
Знайдемо суму податків за місяць: $35430 \cdot 0, 23 = 8148, 9$ грн.
Обчислимо чисту зарплату за місяць: $35430 - 8148, 9 = 27281, 1$ грн.
Знайдемо суму податків за рік: $8148, 9 \cdot 12 = 97786, 8$ грн.

Відповідь:

Службовець отримує на руки 27281{,}1 грн за місяць. За рік сума всіх відрахувань становить 97786{,}8 грн.

Завдання 406

Розв'язування раціональних нерівностей

а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ ;
б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ ;
в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ .

Розв’язання

Пункт а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ . Знайди корені рівнянь $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 1, 5$ та $3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$ . Дроби додатні, якщо чисельник і знаменник мають однаковий знак. Це станеться при $x < - 1, 5$ або $x > - \frac{1}{3}$ .
Пункт б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ . Перенесемо $- 1$ у ліву частину: $\frac{x - 6}{1 - x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{x - 6 + 1 - x}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{- 5}{1 - x} > 0$ . Знаменник має бути додатним, бо чисельник $- 5$ від'ємний. Отже, $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ .
Пункт в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ . Перенесемо $1$ у ліву частину: $\frac{9 - 2 x}{x} - 1 ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 2 x - x}{x} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 3 x}{x} ⩾ 0$ . Корені чисельника ( $9 - 3 x = 0$ ) та знаменника ( $x = 0$ ): $x = 3$ і $x = 0$ . Дроби додатні або дорівнюють нулю, якщо $x < 0$ або $x ⩾ 3$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1, 5) \cup (- \frac{1}{3}; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1)$ ; в) $(- \infty; 0) \cup [3; + \infty)$ .