Завдання 395, § 8. Функції Functions — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 395

Область значень функцій з коренем

Знайти область значень (множину всіх можних $y$ ) для функцій:
а) $y = \frac{x + 4}{x ^{2} - 16}$ ;
б) $y = \frac{x ^{3} + 2 x}{∣ x ∣ - 2}$ ;
в) $y = x^{2} - 10 x + 26$ .

Розв’язання

Варіант а): Підкореневий вираз $x + 4 \geq 0$ , тобто $x \geq - 4$ . Знаменник $x^{2} - 16 \neq = 0$ , отже $x \neq = \pm 4$ . Функція не є парною, тому область значень — це всі додатні числа.
Варіант б): Підкореневий вираз $x (x^{2} + 2) \geq 0$ дає $x \geq 0$ . Знаменник $∣ x ∣ - 2 \neq = 0$ , тобто $x \neq = 2$ . Оскільки область визначення обмежена знизу нулем, а функція не є парною (через модуль), значення можуть бути будь-якими додатними.
Варіант в): Підкореневий вираз $x^{2} - 10 x + 26$ — це квадратний тричлен. Його дискримінант $D = 100 - 4 \cdot 26 < 0$ , а коефіцієнт при $x^{2}$ додатній, отже вираз завжди додатний і ніколи не дорівнює нулю. Мінімум досягається в вершині параболи.

Відповідь:

а) $(0; + \infty)$ ; б) $(0; + \infty)$ ; в) $[13 - 5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 8. Функції Functions Завдання 395 с. 80

Область значень функцій з коренем

Умова

Що треба знати

Область значень функції, що містить корінь квадратний $A$ , знаходиться в інтервалі $[0; + \infty)$ , оскільки результат кореня завжди невід'ємний. Якщо підкореневий вираз є квадратним тричленом, його мінімальне значення дорівнює 0 (у точці вершини параболи).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для кожного випадку спочатку визнач область визначення (де вирази під коренем $\geq 0$ ), а потім проаналізуй, чи може значення під коренем дорівнювати нулю, і як це впливає на множник або знаменник.

Розв’язання крок за кроком

Варіант а): Підкореневий вираз $x + 4 \geq 0$ , тобто $x \geq - 4$ . Знаменник $x^{2} - 16 \neq = 0$ , отже $x \neq = \pm 4$ . Функція не є парною, тому область значень — це всі додатні числа.
Варіант б): Підкореневий вираз $x (x^{2} + 2) \geq 0$ дає $x \geq 0$ . Знаменник $∣ x ∣ - 2 \neq = 0$ , тобто $x \neq = 2$ . Оскільки область визначення обмежена знизу нулем, а функція не є парною (через модуль), значення можуть бути будь-якими додатними.
Варіант в): Підкореневий вираз $x^{2} - 10 x + 26$ — це квадратний тричлен. Його дискримінант $D = 100 - 4 \cdot 26 < 0$ , а коефіцієнт при $x^{2}$ додатній, отже вираз завжди додатний і ніколи не дорівнює нулю. Мінімум досягається в вершині параболи.

Відповідь:

а) $(0; + \infty)$ ; б) $(0; + \infty)$ ; в) $[13 - 5; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?